VMware 笔试题目：猫和老鼠玩象棋

猫和老鼠玩象棋，玩了M+N局，猫赢了M局 老鼠赢了N局 N>M，而且在整个过程中，猫的得分从来没有超过过老鼠，问共有多少种可能的比赛得分过程

先用学习数学的时候常常使用的方法，简化，推测的方法，
试推一下(N,M)的得分过程 与 （N-1, M） (N, M-1)的关系
假设猫和老鼠一共玩了X盘象棋，则X = M + N

X取值	(N, M)	组合种类(N的数据用1表示，M的数据用0表示)
1	(1, 0)	1
2	(2, 0) (1, 1)	11 10
3	(3, 0) (2, 1)	111 110 101
4	(4,0) (3,1) (2,2)	1111 1110 1101 1011 1100 1010

TO组合	From组合	how得到（末尾）
(2,0)	(1,0)------1	+1
(1,1)	(1,0)------1	+0
(3,0)	(2,0)------11	+1
(2,1)	(1,1)------10 (2,0)------11	+1 +0
(4,0)	(3,0)------111	+1
(3,1)	(2,1)------110 101 (3,0)------111	+1 +0
(2,2)	(2,1)----- 110 101	+1

设用fun(N,M)表示,上面的数据可以推论出
fun(N,M) = fun(N-1, M) + fun(N, M-1) 当 N > M
fun(N, M-1) 当 N = M
0 当 N < M　

现在证明该等式的正确性。
当 N < M 时，与题目不符合，没有合适的得分过程， fun = 0.
当 N = M时，根据猫的得分从没有超过老鼠可以得出最后一次比赛中为猫赢。即组合的结尾都是0，即前面的N+M-1次比赛中，老鼠赢N次，猫赢了M-1次，即fun(N, M-1)的组合。所以等式成立
当 N > M 时，若末尾为鼠赢，则前面N+M-1次为猫赢M次，鼠赢N-1次，即fun(N-1, M)
若末尾为猫赢，则前面N+M-1次为猫赢M-1次，鼠赢N次，即fun(N, M-1) ，等式成立。
算法可用可用动态规划来实现：
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <string>
#include <cassert>

using namespace std;

const int N = 3;
const int M = 2;

int number[N + 1][M + 1] = {0};

void calculate(int nIndex, int mIndex)
{
if (nIndex < mIndex)
{
return;
}

if ((nIndex > 1) && (nIndex > mIndex))
{
number[nIndex][mIndex] += number[nIndex - 1][mIndex];
}

if (mIndex > 0)
{
number[nIndex][mIndex] += number[nIndex][mIndex - 1];
}
}

int main(void)
{
int nIndex = 0;
int mIndex = 0;

assert(N >= M);

number[1][0] = 1;

for (nIndex = 1; nIndex <= N; nIndex++)
{
for (mIndex = 0; (mIndex <= nIndex) && (mIndex <= M); mIndex++)
{
calculate(nIndex, mIndex);
}
}

cout << "N =" << N << ";/nM = " << M << ";/nnumber = " << number
[M] << endl;
}