【原】斐波那契质数(Fibonacci Prime)详解

Fibonacci数大家一定很熟悉了：













Fibonacci质数的定义：

若某Fibonacci数与任何比它小的Fibonacci数互质，那么它就是Fibonacci质数。

但是哪些的Fibonacci数才是Fibonacci质数呢？这里先给出结论：

1. F(3)和F(4)是Fibonacci质数；从F(5)开始，某项为Fibonacci质数当且仅当它的项数为质数

2. 第k小的Fibonacci质数是以质数数列中的第k个数为项数的Fibonacci数( 除F(3)和F(4)之外 )

证明如下：

证明任何与“互质”有关的问题，可以从余数入手，因此考察所有数除以M（M任意）的余数所组成的序列 :



所有数除以相应的某些M（M≠1）都可以余数为0，因此我们的M从这些数种选取。

此时

，假设

中的第一个零元素为

，同时假设其前一个元素

。

根据同余可加性：





可得：









由上述结论可得，因为

序列和

序列一样每个数只与其前两个数相关，因此从

开始的子序列相当于从

开始的序列乘以a。由此可见，当且仅当p为k的倍数时，

。此时

和

都能被M整除，因此

和

有公因数M（M≠1），

和

不互质，

不为Fibonacci质数(k<p)。因此对于任一合数q，都有k能够整除q（k<q），此时

和

有公因数，

就不为Fibonacci质数。



因此得到结论（上述的逆反命题）：若

为Fibonacci质数，则q为质数。但存在个别反例：

1.

，所以不是Fibonacci质数

2.

，虽然4是2的倍数，但

，所以

和

互质，因此

仍为Fibonacci质数

最终结论：Fibonacci数列中的第3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … 项为Fibonacci质数