[Project Euler] 来做欧拉项目练习题吧: 题目006

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周银辉

问题描述：

The sum of the squares of the first ten natural numbers is,

12 + 22 + ... + 102 = 385The square of the sum of the first ten natural numbers is,

(1 + 2 + ... + 10)2 = 552 = 3025Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of the sum is 3025

385 = 2640.

Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the square of the sum.

问题分析：

嗯，这是个纯数学题了，有数学公式的：

(1+2+3...+n)^2 = ((1+n)*n/2)^2

(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) = 1/6 * n(n+1)(2n+1)

1+2+3+...+n这是等差数列，所以(1+n)*n/2

而(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) 嘛，可以这样推导：

首先，

n*(n+1)*(2n+1) - (n-1)*n*(2n-1)= (n^2+n)*(2n+1) - (n^2-n)*(2n-1)

= (2*n^3+n^2+2*n^2+n) - (2*n^3-n^2-2*n^2+n)

= 2*n^3+3n^2+n - 2*n^3+3*n^2-n

= 6*n^2

然后，
当 n=1时， 1*2*3 - 0 = 6*1^2
当 n=2时， 2*3*5 - 1*2*3 = 6*2^2
当 n=3时， 3*4*7 - 2*3*5 = 6*3^2
...
当 n=n-1时，(n-1)*n*(2n-1) - (n-2)*(n-1)*(2n-3) = 6*(n-1)^2
当 n=n时， n*(n+1)*(2n+1) - (n-1)*n*(2n-1) = 6*n^2
上面的各个等式左右对应相加，左边的很多项会正负抵消，然后得到：
n*(n+1)*(2n+1) = 6*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
所以，(1^2+2^2+3^2+...+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6

注：当完成题目后，对于某些题，官方网站会给出参考答案，在我的博客里不会将官方答案贴出来，仅仅会写下我自己当时的思路，除非两者不谋而合。另外，如果你有更好的思路，请留言告诉我，我非常乐意参与到讨论中来。