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3D 图形编程的数学基础(1) 向量及其运算

作者:
九天雁翎(JTianLing)

日期:

2010-08-31

本文介绍了向量的定义、模、三维空间中两点间的距离，向量的规范化，向量的基本运算等。

说明

因为大学时在高等数学课程中学习过线性代数相关的内容，所以学习3D编程的时候这一段事实上是跳过去了，学习到某些内
容的时候觉得很郁闷，（4，5年没有用了，难免忘掉）最后常常依靠高级API完成，但是事实上这些高级API的算法具体实现啥的基本看不懂，于是还是决定
回来好好的将基础部分弄明白，当然，首先是数学部分。为了更好的达到直观的效果，还有在复杂矩阵运算的时候验证运算结果，将引入freemat或者
scilab（5.1.1）或者GNU
Octave(3.2.3)的使用，将此三个软件作为matlab的替代品来使用。不能用庞大的matlab也是种解脱，默认使用freemat,不行的
时候考虑其他替代。具体牵涉到计算的时尽量实现DirectX与Irrlicht两个版本，也会参考部分源代码。（主要用于看看公式用C/C++的实现）
基本上，我希望能以概念的讲解为主，最好是直观的讲解。

向量

只用大小就能表示的量叫数量，比如温度，质量等。既需要用大小表示，同时还要指明方向的量叫向量，比如位移，速度等。
几何学中，我们用有向线段来表示向量。有两个变量可以确定一个向量,即向量的长度和向量的方向。量与位置无关，有相同长度和方向的两个向量是相等的。在
irrlicht中有专门的类vector2d,vector3d分别来表示2维的，3维的向量。在DirectX中用于表示向量的是结构
D3DXVECTOR2，D3DXVECTOR3,D3DXVECTOR4。

左右手坐标系

一图胜前言，不懂怎么用手扭曲的去比划的看看图，就明白啥是左手，啥是右手坐标系了。在OpenGL中使用的是右手坐标系，DirectX,Irrlicht中使用的是左手
坐标系。（图片来自于网络）

左手坐标系与右手坐标系

向量的模

向量的大小（或长度）称为向量的模，向量a的模记为||a||。下面以3维的向量（3D中用的最多）为例：



在irrlicht中获取向量模的函数是vector3d的成员函数

//! Get length of the vector.

T getLength() const { return core::squareroot( X*X + Y*Y + Z*Z ); }

//! Get squared length of the vector.

/** This is useful because it is much faster than getLength().

/return Squared length of the vector. */

T getLengthSQ() const { return X*X + Y*Y + Z*Z; }

可以看出公式的实现，其中getLengthSQ用于某些时候使用不开根号，直接使用平方值的方法来优化代码。

DirectX中的实现差不多一样，只是使用的是C风格的接口没有使用C++的类而已。

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Length

( CONST D3DXVECTOR3 *pV )

{

#ifdef D3DX_DEBUG

if(!pV)

return 0.0f;

#endif

#ifdef __cplusplus

return sqrtf(pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z);

#else

return (FLOAT) sqrt(pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z);

#endif

}

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3LengthSq

( CONST D3DXVECTOR3 *pV )

{

#ifdef D3DX_DEBUG

if(!pV)

return 0.0f;

#endif

return pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z;

}

FreeMat:

--> a = [1, 1, 1]

a =

1 1 1

--> b = norm(a)

b =

1.7321

-->

三维空间中两点的距离

公式：



Irrlicht的实现：

//! Get distance from another point.

/** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */

T getDistanceFrom(const vector3d<T>& other) const

{

return vector3d<T>(X - other.X, Y - other.Y, Z - other.Z).getLength();

}

//! Returns squared distance from another point.

/** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */

T getDistanceFromSQ(const vector3d<T>& other) const

{

return vector3d<T>(X - other.X, Y - other.Y, Z - other.Z).getLengthSQ();

}

也有平方的SQ函数版本。

向量的规范化

向量的规范化也称（归一化）就是使向量的模变为1，即变为单位向量。可以通过将向量都除以该向量的模来实现向量的规范
化。规范化后的向量相当于与向量同方向的单位向量，可以用它表示向量的方向。由于方向的概念在3D编程中非常重要，所以此概念也很重要，单位向量有很多重
要的性质，在表示物体表面的法线向量时用的更是频繁。
基本的公式：



在irrlicht中的调用函数及实现：

//! Normalizes the vector.

/** In case of the 0 vector the result is still 0, otherwise

the length of the vector will be 1.

/return Reference to this vector after normalization. */

vector3d<T>& normalize()

{

f64 length = (f32)(X*X + Y*Y + Z*Z);

if (core::equals(length, 0.0)) // this check isn't an optimization but prevents getting NAN in the sqrt.

return *this;

length = core::reciprocal_squareroot ( (f64) (X*X + Y*Y + Z*Z) );

X = (T)(X * length);

Y = (T)(Y * length);

Z = (T)(Z * length);

return *this;

}

上述代码中首先计算length以防其为0，然后直接计算1/||u||,（这样做的目的从代码实现上来看是因为SSE,Nviadia都有可以直接计算此值的能力）然后再分别与各坐标值进行乘法运算。

DirectX中的调用函数：(无实现可看）

D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVec3Normalize

( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV );

向量的加减法，数乘

太简单，不多描述，无非就是对应的加，减，乘罢了，几何意义讲一下，加法可以看做是两个向量综合后的方向，减法可以看做两个向量的差异方向（甚至可以用于追踪算法），数乘用于对向量进行缩放。
为了完整，这里从百度百科
拷贝一段资料过来：（以下都是2维的，放到3维也差不多）

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：

a+b=b+a；

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即"共同起点，指向被减"

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|·|a|。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；

当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的|λ|倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

点积(dot product)又称数量积或内积

v0 . v1 = v0.x*v1.x+v0.y*v1.y+v0.z*v1.z;

所以向量的点积结果是一个数，而非向量。

点积等于向量v0的长度乘以v1的长度，再乘以它们之间夹角的余弦，即|v0|*|v1|*cos(θ).

通过点积，可以计算两个向量之间的夹角。

cos(θ)=v0.v1/|v0||v1|;

θ=Math.acos(v0.v1/|v0||v1|);

如果两个向量都是单位向量，上面的公式可以简化为

θ=Math.acos(v0.v1);

V0.v1=0 —> 两个向量互相垂直

V0.v1>0 —> 两个向量的夹角小于90度

V0.v1<0 —> 两个向量的夹角大于90度

Irrlicht中的实现：（很简单的公式，很直白的实现）

//! Get the dot product with another vector.

T dotProduct(const vector3d<T>& other) const

{

return X*other.X + Y*other.Y + Z*other.Z;

}

DirectX中的实现：（很简单的公式，也是很直白的实现）

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Dot

( CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pV2 )

{

#ifdef D3DX_DEBUG

if(!pV1 || !pV2)

return 0.0f;

#endif

return pV1->x * pV2->x + pV1->y * pV2->y + pV1->z * pV2->z;

}

叉积(cross product)：也称向量积

叉积的结果是一个向量，该向量垂直于相乘的两个向量。
公式：



注意：叉积不满足交换律，反过来相乘得到的向量与原向量方向相反。

左手坐标系可以通过左手法则来确定叉积返回的向量的方向，从第一个向量向第二个向量弯曲左手，这是拇指所指的方向就是求得的向量的方向。右手坐标系
同样的，可以通过右手法则来确定叉积返回的向量的方向，从第一个向量向第二个向量弯曲右手，这是拇指所指的方向就是求得的向量的方向。因此，事实上叉积获
得的向量总是垂直于原来两个向量所在的平面。

如果两个向量方向相同或相反，叉积结果将是一个零向量。（即a//b)

叉乘的一个重要应用就是求三角形的法向量。

Irrlicht的实现：

//! Calculates the cross product with another vector.

/** /param p Vector to multiply with.

/return Crossproduct of this vector with p. */

vector3d<T> crossProduct(const vector3d<T>& p) const

{

return vector3d<T>(Y * p.Z - Z * p.Y, Z * p.X - X * p.Z, X * p.Y - Y * p.X);

}

DirectX的实现：

D3DXINLINE D3DXVECTOR3* D3DXVec3Cross

( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pV2 )

{

D3DXVECTOR3 v;

#ifdef D3DX_DEBUG

if(!pOut || !pV1 || !pV2)

return NULL;

#endif

v.x = pV1->y * pV2->z - pV1->z * pV2->y;

v.y = pV1->z * pV2->x - pV1->x * pV2->z;

v.z = pV1->x * pV2->y - pV1->y * pV2->x;

*pOut = v;

return pOut;

}

基本上也就是按公式来了。

作为最后一个概念，这里用代码实践一下。

求a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的叉积。

freemat:

--> a = [2,2,1]

a =

2 2 1

--> b = [4,5,3]

b =

4 5 3

--> c = cross(a,b)

c =

1 -2  2

-->

Irrlicht:

#include <stdio.h>

#include <irrlicht.h>

using namespace irr::core;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

vector3df a(2.0f, 2.0f, 1.0f);

vector3df b(4.0f, 5.0f, 3.0f);

vector3df c = a.crossProduct(b);

printf("c = (%f, %f, %f)", c.X, c.Y, c.Z);

return 0;

}

输出：

c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)

DirectX:

#include <stdio.h>

#include <d3dx9.h>

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

D3DXVECTOR3 a(2.0f, 2.0f, 1.0f);

D3DXVECTOR3 b(4.0f, 5.0f, 3.0f);

D3DXVECTOR3 c;

D3DXVec3Cross(&c, &a, &b);

printf("c = (%f, %f, %f)", c.x, c.y, c.z);

return 0;

}

输出：

c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)

这里给出个较为完整的例子是希望大家了解一下Irrlicht这种C++风格的接口及DirectX的C风格接口使用上的不同，这里就不对两种风格的接口提出更多评论了，以防引起口水战。

下一篇预计讲矩阵的计算

参考资料

《DirectX 9.0 3D游戏开发编程基础》 ，（美）Frank D.Luna著，段菲译，清华大学出版社

《大学数学》湖南大学数学与计量经济学院组编，高等教育出版社

百度百科及wikipedia

原文

3D 图形编程的数学基础(1) 向量及其运算