两个字符串模式匹配的算法

今天看了一下查找子串在某个文本中出现的位置的两个算法。一个是Karp-Rabin算法，另外一个是Knuth-Morris-Pratt算法。

先来说明一下这个Karp-Rabin算法。该算法提出了一个简单的子串位置查询的方法，区别于brute force方法的O(m*n)的时间复杂度，该算法在最坏情况下的时间复杂度是O(m*n)，其平均复杂度为O(m+n)。其中m为子串的长度。n为文本的长度。该算法使用hash函数来检查两个序列。从而查找出子串在文本中出现的位置。其中hash function需要具有以下属性：

1、能够很快地计算出来；

2、严格区分出不同的字符串；

3、在已知hash(y[i ... i+m-1])的情况下可以很容易地求解出hash(y[i+1 ... i+m])，具体的求解式为：

hash(y[i+1 ... i+m]) = rehash(y[i],y[i+m],hash(y[i...i+m-1])；

对长度为m的子串w，定义hash(w) = (w[0]*2m-1+w[1]*2m-2+...+w[m-1])mod q

其中q为一个大的素数。另外，我们定义rehash(a,b,h) = (h-a*2m-1)*2+b)mod q .

在查找模式串w的过程中，hash(w)需要与hash(y[i..i+m-1])进行比较，其中(0<=i<n-m)。如果发现有hash值相等的，则需要对x=y[i..i+m-1]进行逐个字符的比较，以确定其是否相同。

如： w= ing.

则hash(w) = 105*22+110*2+103 = 743 按照字符的ASCII码进行计算的。

y = s t r i n g m a t c h i n g

hash = 806 797 776 743 678 585 443 746 719 766 709 736 743

这样，如果在文本串中有和子串相同hash值的字符串，则逐字符地比较这两个hash函数值相同的字符串，如果相同，则在文本中找到子串，如果不同，则文本中没有要找的子串。 该方法相比于brute force算法上面有改进，但其最坏的时间复杂度却和brute force算法相同。

下面我们引入的Knuth-Morris-Pratt算法，该算法查找子串的时间复杂度是线性的。

假定x[0...m-1]和文本字符y[i...i+m-1]对齐，假定它们的第一个不匹配的字符是y[i+j]和x[j] （1<j<m）。则可以推出y[i...i+j-1] = x[0...j-1] = u并且a = y[i+j] != x[j] = b。当移动下标重新进行比对的时候，很显然，我们希望x的前缀v和文本的u的部分后缀匹配。此外，如果我们能够避免其他立马可能出现的不匹配字符的话，x串的前缀v后面紧跟的字符肯定不能是b了。

今天先写到这里了，这两个算法现在只是一个初步的了解，刚开始看这篇文章，关于算法的描述基本上是翻译了以下“Review Pattern Matching and Text Compression Algorithms”这篇文章。