Bellman-Ford && SPFA 算法

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B-F

适用条件&范围

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;

算法描述

对每条边进行|V|-1次Relax ( 就是松弛操作 )操作;
如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。

For i:=1 to |V|-1 do //v为顶点数
For 每条边(u,v)∈E do  //对每条边进行遍历
Relax(u,v,w);
For每条边(u,v)∈E do
If dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)

时空复杂度

算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，仍不失为一个很实用的算法。

算法的改进---> SPFA

算法简介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。也有人说SPFA本来就是Bellman-Ford算法，现在广为流传的Bellman-Ford算法实际上是山寨版。

算法流程

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右

算法代码

Procedure SPFA;

Begin
initialize-single-source(G,s);
initialize-queue(Q);
enqueue(Q,s);
while not empty(Q) do
begin
u:=dequeue(Q);
for each v∈adj[u] do
begin
tmp:=d[v];
relax(u,v);
if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
enqueue(Q,v);
end;
end;
End;

procedure spfa;
begin
fillchar(q,sizeof(q),0); h:=0; t:=0;//队列
fillchar(v,sizeof(v),false);//v[i]判断i是否在队列中
for i:=1 to n do
dist[i]:=maxint;//初始化最小值

inc(t);
q[t]:=1;
v[1]:=true;
dist[1]:=0;//这里把1作为源点

while h<>t do
begin
h:=(h mod n)+1;
x:=q[h];
v[x]:=false;
for i:=1 to n do
if (cost[x,i]>0) and (dist[x]+cost[x,i]<dist[i]) then
begin
dist[i]:=dist[x]+cost[x,i];
if not(v[i]) then
begin
t:=(t mod n)+1;
q[t]:=i;
v[i]:=true;
end;
end;
end;
end;

void SPFA(void)//好久以前写的……今天丢上来……话说我都不记得SPFA怎么写了……囧……ms存图是矩阵……嗯嗯
{
int i;
queue list;
list.insert(s);
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(s==i)
continue;
dist[i]=map[s][i];
way[i]=s;
if(dist[i])
list.insert(i);
}
int p;
while(!list.empty())
{
p=list.fire();
for(i=1;i<=n;i++)
if(map[p][i]&&(dist[i]>dist[p]+map[p][i]||!dist[i])&&i!=s)
{
dist[i]=dist[p]+map[p][i];
way[i]=p;
if(!list.in(i))
list.insert(i);
}
}
}