有12个相同的球,有1个与其他11个不同(或轻或重),你只能用天平称3次(天平没砝码
2010-10-20 22:08
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把12个球分别编上号,并随意分成3组。不失一般性,分别为: (1、2、3、4)..①;(5、6、7、8)..②;(9、10、11、12)..③. 第一称:把①与②组放在天平两端称。结果有两种情况:一种是平;另一种是不平,不妨假设组①重于组②。 先来看平的情况。则1-8号球全部正常。次品必在组③,即在9-12号球中。 在9-12号球中任选3个,不妨选(9、10、11)...④,存下12号球:在正常球1-8号球中也任选3个,不妨选(1、2、3)...⑤。 对④与⑤进行第二次称。结果有三:④=⑤;④>⑤;④<⑤。 如果④=⑤时,次品是12号球。第三次用12号球与任意一个正常球称,则可立马将12号次品球是偏重、还是偏轻正确判断出来 。 如果④>⑤时,则次品球必在组④的3个球内,且重于正常球。这时,在9-11号3个球中任选两个(不妨设是9与10号球),再放到天平上称第三次。这时有三种情况:9=10;9>10;9<10。 当9=10时,次品必是11号球,它比正常球要重;当9>10时,则偏重的9号球是次品;当9<10时,偏重的10号球是次品。 同理可证④<⑤时的情况。 对于另一种不平的情况改次再证明。 继续证明. 当不平时有两种情况,即组①>组②;组①<组②。 现在来讨论当组①>组②的情况。即(1、2、3、4)重于(5、6、7、8)。 将组①与组②中的球进行调整,并重新编组:组①中留下3号球,拿出4号球,并把1、2球改放到组②中去,并添入正常球一个,不妨设为9号球;组②中留下7号球,拿出6、8号球,并把5号球改放到组①中去,编成新组:(5、3、9)…③;(1、2、7)…④。 现在进行第二称,即把组③和组④放在天平上称。结果有三: ③=④;③>④;③<④。 当③=④时。则次品球必在拿出去的几个球内,即在4、6、8号3个球内,且知4号球至少重于6号、8号球中的一个。这时用6号球与8号球进行第三次称,结果是6号=8号;6号>8号;6号<8号。当6号=8号时,则4号球是次品球,且它比正常球要重;当6号>8号时,则次品是8号球,它比正常球要轻;当6号<8号时,则次品是6号球,它比正常球要轻。 当③>④时。说明:变动后的组仍保持着原有组的重轻本质,这是由组内保持不变的球造成的,则次品球必在3号与7号球之间,且知道3号球一定重于7号球。这时进行第三次称:从3、7号球中任选一与正常球称,不妨选3号球与正常球9号称。结果有:3号=9号;3号>9号;3号<9号。当3号=9号时,则次品是7号球,它比正常球要轻;当3号>9号时,则次品是3号球,它比正常球要重;当3号<9号时,又由3号>7号,则3号与7号均是次品,这不可能,因为与条件中规定的次品只有一个矛盾。 当③<④时。这是由交换了组别的球造成的,因此,次品球必在1、2、与5号之间,且5号球至少轻于1、2号球中的一个。这时用1、2号球进行第三次称,。结果有:1号=2号;1号>2号;1号<2号。当1号=2号时,次品是5号它比正常球要轻;当1号>2号时,这时次品是1号,它比正常球要重;当1号<2号时,又5号也小于2号,则次品是2号,它比正常球要重。 同理可证:组①<组②。
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