关于元素选择问题的总结

转载自：算法：元素选择问题总结

注：中位数：中间大小的数；上取整用| |表示，下取整用[ ]表示

类型1．选最大输入：n个不等的数

输出：max

算法1 Findmax

1. max←L[1]

2. for i←2 to lenth[L]

do if max < L[i]

then max←L[i]

3. return max

算法最坏情况下的时间复杂性为O(n)

结论：在n 个数的数组中找最大的数, 并以比较作为基本运算的算法类中的任何算法最坏情况下至少要做n－1 次比较.

证: 因为MAX是唯一的, 其它的n－1个数必须在比较后被淘汰. 一次比较至多淘汰一个数,所以至少需要n－1 次比较.

结论: findmax 算法是最优算法.

类型2．找最大和最小

通常算法：顺序比较

复杂性：W(n)=2n-2

算法2 FindMaxMin

1．将n个元素两两一组分成 [n/2] 组

2．每组比较，得到 [n/2] 个较小和 [n/2] 个较大

3．在 [n/2] 个 (n为奇数，是 [n/2] +1)较小中找最小min

4．在 [n/2] 个(n为奇数，是 [n/2] +1)较大中找最大max

复杂性：行2 比较 [n/2] 次，行3-4比较至多2*|n/2| -2次，

W(n)= [n/2] +2 |n/2| -2=n+ |n/2| -2 = |3n/2| -2

类型3．找第二大

通常算法：顺序比较

1．顺序比较找到最大max;

2．从剩下的n-1个数中找最大，即第二大second

复杂性：W(n)=n-1+n-2=2n-3

算法3：锦标赛方法 改进的方法，最优

1．k←n

2．将k个元素两两一组，分成 k/2 组

3．每组的2个数比较，找到较大的数

4．将被淘汰的较小的数在淘汰它的数所指向的链表中做记录

5．if k为奇数then k← k/2 +1

6． else k← k/2

7．if k>1 then goto 2

8．max←最大数

9．second←max的链表中的最大

复杂性：

W(n)=n-1+ log n -1= n+ log n -2

类型4．一般性选择问题

输入：数组L, L的长度n, 正整数k, 1≤ k≤ n.

输出：第k小的数

通常算法

1．排序

2．找第k小的数

时间复杂性：O(nlogn)

算法4 Select(S,k) 改进的算法

1．将S划分成5个一组， 共nM= [n/5] 个组

2．每组找中位数，nM个中位数放到集合M

3．m*←Select(M, |M|/2 ) 将S中的数划分成A,B,C,D四个集合

4．把A和D中的每个元素与m*比较，小的构成S1, 大的构成S2

5．S1←S1∪C; S2←S2∪B

6．if k =|S1|+1 then 输出m*

7．else if k≤|S1|

8． then Select(S1,k)

9. else Select(S2,k-|S1|-1)

复杂性估计 更详细的请参考王晓东的《计算机算法设计与分析》（第2版） 电子工业出版社 P24-26



复杂性：W(n)=O(n)

行2： O(n)

行3： W(n/5)

行4： O(n)

行8-9: O(n)

类型5.一道综合应用题

给定n个不同数的集合S和正整数i, i算法A：调用i 次找最大算法findmax , 每调用一次从S中删除一个最大的数。

算法B：对S 排序，并输出S 中最大的i 个数。问：（1）分析A,B 两个算法在最坏情况下的时间复杂性。

（2）试设计一个最坏情况下时间复杂性的阶更低的算法。要求用文字说明算法的设计思想；简要给出算法的伪码描述（可以调用学过的算法，对于使用的变量或过程要给与说明，不要求写程序）；分析算法最坏情况下的时间复杂性。

解：

（1）算法A: i*n=O（n3/2）(3/2次方）

算法B:n*logn

（2）关于算法5的说明：设k 表示第i 大元素在排好序数组的下标，元素记为x;

用选择算法确定这个元素x，

用x 划分数组S, 将比x 大的放到后边；

排序S 中从k 到n 的元素，倒序输出。

算法5

输入: 集合S

输出：S 中最大的i 个数

1. k←n-i+1;

2. x←Select(S, n, k);

3. 用x划分S，将S 中比x 大的元素放到数组的k +1到n的位置；

4. 排序S[k..n]

5. 倒序输出

复杂度：O(n)+O(i*logi)

参考文档：北大计算机屈婉玲老师的教学课件和王晓东的《计算机算法设计与分析》（第2版）