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不定方程(什么是不定方程)

2010-09-15 11:35 393 查看
不定方程
　　所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识
1．不定方程问题的常见类型：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：
（一）二元一次不定方程（组）
定义1.形如

(



不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程

有解的充要是

；
定理2.若

，且

为

的一个解，则方程的一切解都可以表示成




为任意整数)。
定理3.

元一次不定方程

，(

)有解的充要条件是

.
方法与技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求

一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
2．解

元一次不定方程

时，可先顺次求出

，
……，

.若



 

，则方程无解；若

|

，则方程有解，作方程组：


求出最后一个方程的一切解，然后把

的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．

个

元一次不定方程组成的方程组，其中

，可以消去

个未知数，从而消去了

个不定方程，将方程组转化为一个

元的一次不定方程。
（二）高次不定方程（组）及其解法
1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；
2．同余法：如果不定方程

有整数解，则对于任意

，其整数解

满足

，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；
3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；
4．无限递降法：若关于正整数

的命题

对某些正整数成立，设

是使

成立的最小正整数，可以推出：存在

，使得

成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：
1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；
4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。
（三）特殊的不定方程
1．利用分解法求不定方程

整数解的基本思路：
将

转化为

后，若

可分解为

，则解的一般形式为

，再取舍得其整数解；
2．定义2：形如

的方程叫做勾股数方程，这里

为正整数。
对于方程

，如果

，则

，从而只需讨论

的情形，此时易知

两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理3.勾股数方程

满足条件

的一切解可表示为：


，其中

且

为一奇一偶。
推论：勾股数方程

的全部正整数解（

的顺序不加区别）可表示为：


其中

是互质的奇偶性不同的一对正整数，

是一个整数。
    勾股数不定方程

的整数解的问题主要依据定理来解决。
3．定义3.方程

且不是平方数)是

的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。
这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程

的研究，其中

都是整数，

且非平方数，而

。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的

可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解

，则称使

的最小的正整数解

为它的最小解。
定理4.Pell方程

且不是平方数)必有正整数解

，且若设它的最小解为

，则它的全部解可以表示成：


.
上面的公式也可以写成以下几种形式：
（1）

；（2）

；（3）

.
定理5.Pell方程

且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解

，且在后一种情况下，设它的最小解为

，则它的全部解可以表示为


定理6.（费尔马（Fermat）大定理）方程

为整数)无正整数解。
费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。
典例分析
例1．求不定方程

的整数解。
解：先求

的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：


，

， 


将上述过程回填，得：





由此可知，

是方程

的一组特解，于是

，

是方程

的一组特解，因此原方程的一   切整数解为：

。
例2．求不定方程

的所有正整数解。
解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：


因为

是整数，故

也一定是整数，于是有

，再用5去除比式的两边，得

，令

为整数，由此得

。
经观察得

是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：

，所以原方程的一切整数解为：

。
例3．求不定方程

的正整数解。
解：显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数

的取值范围，因为

的最小值为1，所以

。
当

时，原方程变形为

，即

，由上式知

是偶数且

故方程组有5组正整数解，分别为

，

，

，

，

；
当

时，原方程变形为

，即

，故方程有3组正整数解，分别为：

，

，

；
当

时，原方程变形为

，即

，故方程有2组正整数解，分别为：

，

；
当

时，原方程变形为

，即

，故方程只有一组正整数解，为

。
故原方程有11组正整数解（如下表）：



2
4
6
8
10
2
4
6
2
4
2


13
10
7
4
1
9
6
3
5
2
1


1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
例4．求出方程

的所有正整数解。
解：先求最小解

。令


当

时，

；当

时，

；当

时，

。所以

的最小解为

，于是：



例5．在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上的整点的个数为多少个？
解：设

为圆

上任一整点，则其方程为：

；
显然

为方程的4组解。
但当

时，

（因为199是质数），此时，

是一组勾股数，故199可表示为两个正整数的平方和，即

。
因为

，可设

，
则


这与199为

型的质数矛盾！
因而圆O上只有四个整点

。
例6．求所有满足

的正整数三元组

。
解：两边取

，得

，所以

是偶数，再

得

，所以

也是偶数。此时令


于是，由

可知：



；
由唯一分解定理：

，

，
从而


注意到17是奇数，所以要使

成立，一定有

。
于是

。
当

时，在

的两边取

，得

，这显然是不成立的，所以

，从而

。
故方程

只有唯一的一组解（2，2，2）。
例7．

是一个给定的整数，当

为何值时，

的方程

有正整数解？在有正整数解时，求解该不定方程。
解；若有质数

，

，则

，从而

，矛盾！所以

。
因此

当且仅当

。
因为

，显然

，所以

当且仅当

。（*）
（1）若

时，

，所以

或

，

或

；
（2）类似地，若

，则

，所以

或

，

或

；
（3）由于条件（*），不妨设

；
      若

，则

，所以

；
      若

，则因为

，所以存在

，使得：


，
所以

，

。
因为

，所以必有

。
所以

，故


所以

，所以

或


当

时，

；
当

时，

，对应的

为1或2。
由条件（*）知

以及

也是原方程的解，对应的整数

为14或9。
综上，当

时原方程有整数解，它们分别是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3），（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）。
例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。
证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为

，则

是平方数，则必有

。
因为

，故存在整数

中一奇一偶，

，使得（不妨设

是偶数）

。
由于

是完全平方数，而知

两两互素，故它们是平方数，
即

，
所以

即


因为

是奇数，易知

，于是

与

中有一个是

，另一个是

，而

；
另一方面，

得





所以，以

为边的三角形都是直角三角形，其面积等于

是平方数，
但是

，于是构造出了一个面积更小的勾股三角形，矛盾！

http://blog.csdn.net/oopos/archive/2007/10/15/1826143.aspx

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