关于web直径的计算问题的解答：

今天看到博客中有一位网友提出了问题，如下：




梁老师，您好。我是通过走进搜索引擎这本书知道您的，这本书我也读了好几遍，就是在这个web直径的公式证明一直无法解决。找到您的博客，所说的方法就是利用可达性矩阵幂次方去做，但是水平有限，梁老师能不能给我一个证明过程，或者是推荐网上的证明页面。 ps：我也利用谷歌搜偶国外的，都没找到这个公式证明。我的邮箱是695950380@qq.com。谢谢。

来源：http://blog.csdn.net/pennyliang/archive/2007/02/24/1513312.aspx#1492642


Page和Page之间的可达关系可以用有向图来描述,我们举一个具体的例子(Page可以自己指向自己,因此可以包含自反关系,但为了简单起见,例子中不含这种自反关系)





写成矩阵形式如下



则直接可达，路径为1的关系有，<1,2>,<2,3>…，矩阵中元素和（含1的个数）=5。




路径为2的关系有<1,3>,<1,5>,<2,2>…，矩阵中元素和=5；
依次计算下去。
由于存在<2,3>,<3,2>这种情况，因此<1,4>的路径可以是3,5,7等等，这种情况只需要取最短的3即可(可能有更好的方法，我没有细致考虑，应该会有让计算快速收敛的更好方法)。同时如果不断求乘积的过程中，可达关系均为已经出现过的，或者均为0的情况下，则计算终止。

最后，计算总的路径数:


同时计算总的具有可达关系的关系数总和R（例如<4,5>不是可达，因此这个关系不计入在R中，<1,2>等类似关系计入在R中）
则Web直径可以用R/P求得。

在实际处理中，可以采用一些方法来优化矩阵的计算，有文献表明目前的可以公开访问的互联网网页超过200亿。因此如果做计算的话200亿的规模过于巨大，可以进行一些采样。同时可以借助矩阵的稀疏性做一些优化。例如：
可以给每个节点做一个邻接表(每个节点拉出一个list，每个元素是它link到的page)
1->2 (->看做1跳可达，key=1，value=2)
2->3,5
3->2,4
这样做A*A的过程可以转化为
1->2 and 2->3,4 >> 1=>3,4 （=>看做2跳可达）
2->3,5 and 3->2,4 >> 2=>2,2=>4
3->2,4 and 2->3,5 >> 3=>5
余不例举，这样相当于仅存储有效边，在计算中连接表均为顺序存储，且key可以支持随机读取因此可以大大加速。同时还可以做分块话的处理，可以支持多机并行计算，不在深入，有机会会就这一方面主题作专题探讨。

另外，指出问题中的一个问题，Web直径的大小是测量出来的，并不是证明出来的，就好像万有引力定律的那个系数一样，也是测量出来的，并无办法证明，当然这可能有什么更深入的自然原理，可以证明，但就人类目前认识来说，类似的值均是测量测定的，还很难做出证明。

关于web直径的最早测定来源于: Albert, Jeong, and Barabasi 99. R. Albert, H. Jeong, and A.-L. Barabasi. Diameter of the World Wide Web, Nature 401:130-131, Sep 1999.
在这篇论文中，作者通过计算拟合出这样的公式:web直径=0.35+2.06log(N)，目前网页数量发展很快，新的计算和测定，据我了解，还没有进一步的数据，

推荐阅读：
http://www9.org/w9cdrom/160/160.html#AlbertJeongBarabasi