【百科】多值逻辑

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格值逻辑是把线序多值逻辑推广到任意格值上去，其中布尔值逻辑（见逻辑代数）就是一种有趣的多值逻辑。

目录

简介 历史 建立及应用 命题真值的解释 公理系统 推理规则

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简介

　　多值逻辑 　　many-valued logic 　　



书籍

一种非经典的逻辑系统。在经典逻辑中，每一个命题皆取真假二值之一为值 ，每一命题或者真或者假 。但实际上，一个命题可以不是二值的。命题可以有三值，推而广之，还可以有四值，五值。因此，对每一自然数n，有n值，以至于无穷多值。研究这类命题之间逻辑关系的理论，即为多值逻辑。多值逻辑建立于20世纪20年代初，由卢卡西维茨和美国逻辑学家E.L.波斯特创建。在60年代获得了新的推广，从多值的线序域推广到多值的偏序域，建立了格值逻辑。70年代后，多值逻辑被用于计算机科学和人工智能等方面。多值逻辑和经典逻辑一样，也可以用公理方法系统化，建立演算系统。 　　多值逻辑是有多于两个的可能的真值的逻辑演算。传统上，逻辑演算是二值的，就是说对于任何命题都只有两个可能的真值，真和假(它一般对应于我们直觉概念的真实和虚假)。但是二值只有一个可以被指派的可能的真值范围，已经开发了一些其它逻辑系统，带有对二值的变异，或带有多于两个可能的真值指派。 　　在经典的二值方案中，真和假是确定性的值: 命题要么是真要么是假(互斥的)，并且如果命题没有其中一个值，则根据定义它必定有另一个值。这个理由就是排中律: P ∨ ¬P—也就是说, 命题或它否定总有一个成立。 　　要记住的一点是逻辑是跨越各种变换而保持某些命题的特性的系统。在经典逻辑中，这个特性是"真实性": 在有效的论证中，推导出来的命题的真实性由应用保持这个特性的有效步骤来保证。但是，这个特性不是必须是"真实性"特性；它也可以是其它某种特性。 　　例如，保持的特性可以是证实性(justification)，这是直觉逻辑的基本概念。所以，命题不是真或假；转而，它是证实的或未证实的。证实性和真实性之间的关键区别，在这个场合下，是排中律不成立: 非未证实的命题不必然的是证实的；转而，它只是没有被证明是未证实的。关键区别是保持的特性的确定性: 你可以证明 P 是证实的，P 是非证实的，或者不能证明任何一个。有效的论证保持跨越变换的证实性，所以从证实的命题推导出来的命题仍是证实的。但是，有些经典逻辑中的证明依赖于排中律；因为在这种方案中不能使用排中律，有些命题就不能用这种方式来证明了。 　　模糊逻辑是由卢菲特•泽德作为对模糊性的形式化而介入的；模糊就是谓词可以非绝对性的应用于物体的现象，但是有一个特定的程度，并且可以有边界状况。这种逻辑可以用来处理复合三段论悖论(sorites)。不再是两个真值"真"和"假"，模糊逻辑采用了在 0，对应于"绝对假"，和 1，对应于"绝对真"之间的无限多的值。边界状况可以因为被指派为真值 0.5。你可以应用这种逻辑系统作为模糊集合论的理论基础。

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历史

　　已知的第一个不完全接受排中律的逻辑学家是亚里士多德(De Interpretatione, ch. IX)，尽管他没有建立一个多值逻辑的系统。排中律是被斯多葛学派哲学家接受的(这个定律可能起源于其中一位，Chrysippus)。直到二十世纪之前，后来的逻辑学家都遵从亚里士多德逻辑，除了接纳了排中律之外。 　　二十世纪恢复了多值逻辑的想法。波兰逻辑学家和哲学家 Jan Łukasiewicz 在1920年开始建立了多值逻辑系统，使用了第三值"可能"来处理亚里士多德的海战悖论。同时，美国数学家 Emil L. Post 在(1921年)也介入了对额外的真实程度的公式化。哥德尔在1932年证明了直觉逻辑不是有限多值的逻辑，并定义了在经典逻辑和直觉逻辑之间的哥德尔逻辑系统，这种逻辑叫做中间逻辑。

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建立及应用

　　多值逻辑建立于20世纪20年代初，由卢卡西维茨和美国逻辑学家E.L.波斯特创建。卢卡西维茨在其1920年发表的《论三值逻辑》一文中，建立了一个三值逻辑系统。波斯特在其1921年发表的《初等命题的一般理论》一文中，建立了任意有穷多个值的逻辑系统。该系统对于任意的自然数 n>2，序列 t1,…,tn的每一项都可以取作命题的值，其中t1为真值,tn为假值。20～50年代，许多逻辑学家建立了 n值命题演算与谓词演算的公理系统,并探讨了它们的一致性和完全性问题,同时也研究了多值命题演算与埲值命题演算的子系统问题。多值逻辑在60年代获得了新的推广，从多值的线序域推广到多值的偏序域，建立了格值逻辑。70年代后，多值逻辑被用于计算机科学和人工智能等方面。

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命题真值的解释

　　在多值逻辑中，以数字为代表的命题真值如何解释，逻辑学家中间有不同的解释方法。其中有：①三值逻辑的解释。以 0,1,2表示命题的三个真值，把 　　0解释为已知真； 　　1解释为可能真； 　　2解释为已知假。 　　②　n值逻辑的解释。以0,1,…,n-1表示命题的n个值，而把 　　0解释为真； 　　n-1解释为假； 　　i(0〈i〈n-1)解释为不同程度的概率1-i/(n-1)。 　　③　埲（可数无穷多值）逻辑的解释。把 　　0解释为真； 　　1解释为假； 　　m/n,【0<(m/n)<1】解释为不同程度的概率1-(m/n)。 　　在卢卡西维茨的三值逻辑中，联结词塡 ,∧,∨,→,凮由以下的直值表定义，其中 t代表真，f代表假，u代表第三个值。 　　一般说来，若以0,1,…,n为 n+1值逻辑的值，并以0代表真,则各联结词的值可以由下列规定得到。设a、b为A、B的值，则： 　　① A的值为n-a； 　　



多值逻辑

② A∧B的值取a、b中较大者； 　　③ A∨B的值取a、b中较小者； 　　④ A→B的值取0，若a>b；取b-a，若a 　　⑤ A↔B的值取a、b之差。 　　对于无穷值逻辑，如以单位区间 【0,1】中的有理数为值的埲值逻辑，或以单位区间 【0,1】中的实数为值的埌值逻辑，联结词的值可以由下列规定得到。设a、b为A、B的值，则： 　　① 塡A的值为1-a； 　　② A∧B的值取a、b中的较大者； 　　③ A∨B的值取a、b中的较小者； 　　④ A→B的值为0，若b>a；取b-a，若a 　　⑤ A凮B的值取a、b之差。

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公理系统

　　



多值逻辑

多值逻辑和经典逻辑一样，也可以用公理方法系统化，建立演算系统。例如，三值逻辑的一个公理系统,其初始符号包括两个联结词塡和→，它有4个公理和一个推理规则： 　　公理1　A→(B→A)； 　　公理2　(A→B)→((B→C)→(A→C))； 　　公理3　(塡A→塡B)→(B→A)； 　　公理4　((A→塡A)→A)→A。

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推理规则

　　为：从A→B和A可以推出B。在该公理系统中，联结词∨,∧和凮通过定义引入,A∨B定义为(A→B)→ B；A∧B定义为塡(塡A∨塡B);A凮B定义为(A→B)∧(B→A)。把多值逻辑系统化，就可以研究这种系统的逻辑特征，如系统的一致性和完全性。这方面的一个结果,是证明了对于大于2的自然数n、m,当m>n且m是n的倍数时，n值逻辑是m值逻辑的真子系统。多值命题逻辑与适当的量词理论结合在一起，就构成多值谓词逻辑。对布尔值逻辑说来，已证明了，经典谓词演算的公理和推理规则在每一布尔值逻辑中都成立。