算法导论学习笔记－第二十章－斐波那契堆

第二十章 斐波那契堆

总结：这一章讲了斐波那契堆，它是一种比二项堆更松散的堆，它由一组无序的二项树组成，对不涉及删除元素的操作，它仅需O(1)的平摊运行时间。本章介绍斐波那契堆的插入、合并、删除等操作。

1. 斐波那契堆的结构
每个结点x的域：
1） 父节点p[x]
2） 指向任一子女的指针child[x]
3） 左兄弟left[x]
4） 右兄弟right[x]
5） 子女的个数degree[x]
6） 布尔值域mark[x]

在斐波那契堆中，结点x的子女被链接成一个环形双链表，称为x的子女表。当left[x]=right[x]=x时，说明x是独子。

mark域记录了每个结点的一小段历史：
1） 在某个时刻，x是个根
2） 然后，x被链接到另一个结点上（CONSOLIDATE (FIB-HEAP-LINK) ）
3） 再通过切断来去除x的两个子女（CUT, CASCADING-CUT）
一旦第二个孩子失掉了，x与其父节点之间的联系就被切断了，x成为一个新根。如果发生了第1步和第2步，且x的一个孩子被切割掉了，则mark[x]为TRUE。

在一个斐波那契堆中，所有树的根都通过用其left和right指针链接成一个环形的双链表，称为该堆的根表。min[H]指向根表中具有最小关键字的结点。n[H]代表H中目前包含的结点个数。

势函数：Φ(H) = t(H) + 2m(H)，其中t(H)为根表中树的棵树，m(H)为H中有标记的结点的个数。

最大度数：结点最大度数的上界D(n)=O(lgn)

2. 可合并堆的操作
1）创建
MAKE-FIB-HEAP，分配并返回一个斐波那契堆对象H，且n[H]=0, min[H]=NIL。
实际代价：O(1)
势：Φ(H)=0
平摊代价：O(1)

2）插入
插入操作直接将结点插入根表中。
实际代价：O(1)
势的增加：(t(H)+1+2m(H))-(t(H)+2m(H))=1
平摊代价：O(1)+1=O(1)

伪代码

FIB-HEAP-INSERT(H,x)

degree[x] <- 0
p[x] <- NIL
child[x] <- NIL
left[x] <- x
right[x] <- x
mark[x] <- FALSE
concatenate the root list containing x with root list H
if min[H]=NIL or key[min[H]] > key[x]
then min[H] <- x
n[H] <- n[H]+1

3）寻找最小结点
min[H]指向最小结点
实际代价：O(1)
势的增加：0
平摊代价：O(1)

4）合并
直接将两个堆的根表并置，并确定新的min[H]
实际代价：O(1)
势的增加：0
平摊代价：O(1)

伪代码

FIB-HEAP-UNION(H1,H2)

H <- MAKE-FIB-HEAP()
min[H] <- min[H1]
concatenate the root list of H2 with the root list of H
if(min[H]=NIL or key[min[H1]]>key[min[H2]])
then min[H] <- min[H2]
n[H] <- n[H1]+n[H2]
free the objects H1 and H2
return H

5）抽取最小结点
先将最小结点的每个子女都成为一个根，然后将度数相同的根链接起来。注意，直到这里，才真正完成了根表中的树的合并。
实际代价：O(D(n)+t(H))
势的增加：至多(D(n)+1+2m(H))-(t(H)+2m(H))=D(n)-t(H)+1
平摊代价：O(D(n))=O(lgn)

伪代码

FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)

z <- min[H]
if z!=NIL
then for each child x of z
do add x to the root list of H
p[x] <- NIL
remove z from the root list of H
if z=right[z]
then min[H] <- NIL
else min[H] <- right[z]
CONSOLIDATE(H)
n[H] <- n[H]-1
return z

CONSOLIDATE(H)将H根表中的度数相同的结点链接起来，直到根表中每个度数至多只有一个根。用到辅助数组A[0…D(n[H])]，A[i]=y代表degree[y]=i

伪代码

CONSOLIDATE(H)

for i <- 0 to D(n[H])
do A[i] <- NIL
for each node w in the root list of H
do x <- w
d <- degree[x]
while A[d]!=NIL
do y <- A[d]
if key[y]<key[x]
then exchange y <-> x
FIB-HEAP-LINK(H,y,x)
A[d] <- NIL
d <- d+1
A[d] <- x
min[H] <- NIL
for i <- 0 to D(n[H])
do if A[i]!=NIL
then add A[i] to the root list of H
if min[H]=NIL or key[A[i]]<key[min[H]]
then min[H] <- A[i]

伪代码

FIB-HEAP-LINK(H,y,x)

remove y from the root list of H
make y a child of x, incrementing degree[x]
mark[y] <- FALSE

6）减小一个关键字
若结点的关键字减小后，关键字小于其父节点的关键字，则将此结点移出，置入根表中，另外，还需执行级联切断操作。

伪代码

FIB-HEAP-DECREASE-KEY(H,x,k)

if k > key[x]
then error “error”
key[x] <- k
y <- p[x]
if y!=NIL and key[x]<key[y]
then CUT(H,x,y)
CASCADING-CUT(H,y)
if key[x]<key[min[H]]
then min[H] <- x

伪代码

CUT(H,x,y)

remove x from the child list of y, decrementing degree[y]
add x to the root list of H
p[x] <- NIL
mark[x] <- FALSE

由于CUT使切断的结点的父节点y又失去了一个孩子，因此CASCADING-CUT判断父节点的MARK，若为FALSE，则由于y失去了一个孩子，设mark[y]为TRUE，若mark[y]已经为TRUE了，那么y已经失去了两个孩子了，那么继续切断y与p[y]，再接着判断p[y]的MARK，一直沿树递归上去，直到找到一个根节点或未加标记的结点。

伪代码

CASCADING(H,y)

z <- p[y]
if z!=NIL
then if mark[y]=FALSE
then mark[y]=TRUE
else CUT(H,y,z)
CASCADING-CUT(H,z)

复杂度分析：
设递归调用了c次CASCADING()
实际代价：O(c)
势的变化：至多(t(H)+c+2(m(H)-c+2))-(t(H)+2m(H))=4-c (c-1个结点被级联切断消除标记，最后一次CASCADING-CUT可能给某个结点加上标记)
平摊代价：O(c)+4-c=O(1)

7）删除
平摊代价：O(lgn)

伪代码

FIB-HEAP-DELETE(H,x)

FIB-HEAP-DECREASE-KEY(H,x,-INF)
FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)