最短路径问题

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

确定起点的最短路径问题

- 即已知起始结点，求最短路径的问题。

确定终点的最短路径问题

- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

确定起点终点的最短路径问题

- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

全局最短路径问题

- 求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。

注：以下的Dijkstra和Bellman-Ford算法中都使用了松弛

操作。

单源最短路径算法中使用了松弛（relaxation）

操作。对于每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计（shortest-path estimate）

。π[v]代表S到v的当前最短路径中v点之前的一个点的编号,我们用下面的Θ(V)时间的过程来对最短路径估计和前趋进行初始化。

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

1   for each vertex v∈V[G]

2      do d[v]←∞

3         π[v]←NIL

4   d[s]←0

经过初始化以后，对所有v∈V，π[v]=NIL，对v∈V-{s}，有d[s]=0以及d[v]=∞。

在松弛一条边(u,v)的过程中，要测试是否可以通过u，对迄今找到的v的最短路径进行改进；如果可以改进的话，则更新d[v]和π[v]。一次松弛操作可以减小最短路径估计的值d[v]，并更新v的前趋域π[v](S到v的当前最短路径中v点之前的一个点的编号)。下面的伪代码对边(u,v)进行了一步松弛操作

RELAX(u, v, w)

1   if(d[v]>d[u]+w(u,v))

2      then d[v]←d[u]+w(u,v)

3           π[v]←u

 

每个单源最短路径算法中都会调用INITIALIZE-SINGLE-SOURCE，然后重复对边进行松弛的过程。另外，松弛是改变最短路径和前趋
的唯一方式。各个单源最短路径算法间区别在于对每条边进行松弛操作的次数，以及对边执行松弛操作的次序有所不同。在Dijkstra算法以及关于有向无回
路图的最短路径算法中，对每条边执行一次松弛操作。在Bellman-Ford算法中，每条边要执行多次松弛操作。

顺带提一句，松弛操作的不等式与差分约束系统

有着密不可分的关联。

Dijkstra算法

详细介绍

Dijkstra复杂度是O(N^2)，如果用binary heap

优化可以达到O((E+N)logN)，用fibonacci heap

可以优化到O(NlogN+E)

其基本思想是采用贪心法，对于每个节点v[i]，维护估计最短路长度最大值，每次取出一个使得该估计值最小的t，并采用与t相连的边对其余点的估计值进行更新，更新后不再考虑t。

在此过程中，估计值单调递减，所以可以得到确切的最短路。

Dijkstra 程序：

void Dijkstra(){

     for(int i=1;i<=n;i++)

      dis[i] = map[1][i];

 

     int k;

     for(int i=1;i<n;i++){

      int tmin = maxint;

      for(int j=1;j<=n;j++)

       if( !used[j] && tmin > dis[j] ){

        tmin = dis[j];

        k = j;   

       }

      used[k] = 1;

      for(int j=1;j<=n;j++)

       if( dis[k] + map[k][j] < dis[j] )

        dis[j] = dis[k] + map[k][j];

     }

     printf("%d",dis
);

}

 

/* 求1到N的最短路,dis[i] 表示第i个点到第一个点的最短路 By Ping*/

Floyd-Warshall算法

详细介绍

Floyd是计算每对点间最短路径（APSP)的经典算法。

时间复杂度是雷打不动的O(n^3)

for(int k=1;k<=n;k++)

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=1;j<=n;j++){

if( map[i][k] != maxint && map[k][j] != maxint )

if( map[i][k] + map[k][j] < map[i][j] )

map[i][j] = map[i][k] + map[k][j];

}

/* maxint 为极大值 表示不连通 By Ping ^.^ */

 

 Bellman-Ford算法

详细介绍

Bellman-Ford主要是用于负权图。Bellman-Ford算法即标号修正算法。

实践中常用到的方法通常是FIFO标号修正算法和一般标号修正算法的Dequeue实现。

前者最坏时间复杂度是O(nm), 是解决任意边权的单源最短路经问题的最优强多项式算法。

也可以用这个算法判断是否存在负权回路.

SPFA算法

SPFA就是bellmanford的一种实现方式。

SPFA算法就是上面说的FIFO标号修正算法, 请参见《网络流：理论、算法与应用》。

SPFA程序：

void spfa()

{

     int t,p;

     queue[cl] = 1;

     while( cl < op ){

      int p = queue[cl++];

      for(t=head[p][0]; t!=0; t=list[t].next ){

       if( way[p] != maxint && way[p] + list[t].w < way[list[t].r] ){

        way[list[t].r] = way[p] + list[t].w;

        queue[op++] = list[t].r;

       }

      }

     }

     printf("%d",way
);

}

 

 

/* queue为优先队列,链表存图(list) by Ping ^.^ */

Johnson算法

详细介绍