算法导论学习笔记－第十七章－平摊分析

第十七章 平摊分析

总结：平摊分析是一种用来分析执行一系列类似操作的算法的工具，它对整个操作序列的真实代价限界。本章介绍了平摊分析的三种方法，分别是聚集分析、记账方法、势能方法。每种方法都通过分析栈操作和二进制计数器增1来举例分析。最后，本章用平摊分析的方法分析了表动态扩张和收缩的代价限界。

1. 聚集分析
证明对所有的n，有n个操作所构成的序列的总时间在最坏情况下为T(n)。因此，每个操作的平均代价为T(n)/n

2. 记账方法
对不同的操作赋予不同的费用，某些操作的费用比它们的实际代价或多或少。一个操作的平摊代价可以看作两部分：实际代价和存款（或被储蓄或被用完）。必须注意，数据结构中的总存款必须始终是非负的。

例如，对于栈操作，每次PUSH的时候支付2元，1元用于支付该PUSH操作的实际代价，还有1元用于支付该元素被POP出来时的代价。而对POP操作不收取任何费用。

3. 势能方法
势能方法的关键就是定义势函数。势函数将每个数据结构Di映射为一个实数Φ(Di)，即与数据结构Di相联系的势。Di为对数据结构Di-1作用第i个操作的结果。势函数需要满足Φ(Dn)>= Φ(D0)。
每个操作的平摊代价为其实际代价加上由于该操作所增加的势。n个操作的总平摊代价即为总的实际代价的一个上界。