箱线图在软件管理中的应用

箱线图（Box plot）也称箱须图（Box-whisker Plot），是利用数据中的三个统计量：第一四分位数、中位数、第三四分位数来描述数据的一种方法，它也可以粗略地看出数据是否具有对称性，分布的分散程度等信息。作为一种数据分析的手段，箱线图简单易用，适合于：

（1） 建立过程性能基准

（2） 识别异常点。




在画箱线图时用到的基本概念：

（1）四分位数（Quartile），即统计学中，把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。

(2) 第一四分位数 (Q1)，又称“四分之一位数”或”下四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。

（3）第二四分位数 (Q2)，又称中位数（Median）将数据排序（从大到小或从小到大）后，位置在最中间的数值。当样本数为奇数时，中位数=第(N+1)/2个数据；当样本数为偶数时，中位数为第N/2个数据与第N/2+1个数据的算术平均值 。它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。因此某些数据的变动对它的中位数影响不大。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。:

（4）第三四分位数 (Q3)，又称“四分之三位数”或”上四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

(5) 四分位数间距（IQR，interquartile range），又称”内距”,是上四分位数与下四分位数之差,用四分位数间距可反映变异程度的大小。

(6) 内限:Q1-1.5I*QR,Q3+1.5*IQR称为内限。

(7) 异常点（outliers）：超出内限的值称为异常点。

画箱线图时，上须线的终点为在min(Q3+1.5*IQR,最大值)，下须线的终点为max(Q1-1.5*IQR,最小值)

通过箱线图我们可以不管样本数据的分布类型，基于中位数、内限建立历史数据的性能基线。凡是超出内限的数据则认为是异常点。

在EXCEL中有2个函数可以计算四分位数：QUARTILE(array,quart)和PERCENTILE(array,k)。

举例如下：

有10个数如下：2，3，5，10，12，13，14，34，34，36。置于单元格A1到A10中。

采用QUARTILE函数分别计算如下：

下四分位数：QUARTILE(A1:A10,1)=6.25

中位数：QUARTILE(A1:A10,2)=12.5

上四分位数：QUARTILE(A1:A10,3)=29

采用PERCENTILE函数分别计算如下：

下四分位数：PERCENTILE (A1:A10,0.25)=6.25

中位数：PERCENTILE (A1:A10,0.5)=12.5

上四分位数：PERCENTILE (A1:A10,0.75)=29

中位数还可以采用median()函数计算之。

计算四分位数的方法有多种，在EXCEL中，求四分位数的算法如下：

找到第k小的数值,k=(quart/4)*(n-1))+1 ,quart为0到4之间的一个整数，即第quart四分位数。n位这组数中数值的个数。如果k不是整数，则下取整，并记录截去的小数位f。在数组中找到第k，k+1个整数，按下列公式计算：

Output = a[k]+(f*(a[k+1]-a[k]))

a[k] = 第k小的数值；

a[k+1] = 第k+1小的数值；

对于上面给出的序列，如果求下四分位数，则按上述的算法，计算结果如下：

k=trunk(1/4*(10-1)+1)=3

f=1/4*(10-1)+1-k=0.25

下四分位数=5+（10-5）*f=6.25

注意：在MINITAB中计算四分位数的算法与EXCEL的算法不同，因此结果也是不同的。为简单的目的，我们在实际中可以采用EXCEL的结果。

对于2-3级的企业，采用箱线图建立过程性能基线与采用控制图建立过程性能基线相比，箱线图法不需要判断数据的分布类型，不需要将数据点按时间排序，不需要计算标准差，简单易行，具有很强的实用性。如某企业积累了18个项目的系统测试的缺陷密度，得到如下的数据：

编号	缺陷密度(个/KLOC)
1	1.37
2	1.57
3	0.70
4	0.47
5	0.89
6	0.67
7	0.21
8	0.67
9	0.89
10	0.25
11	0.63
12	0.60
13	0.13
14	0.47
15	2.38
16	0.33
17	1.11
18	0.00

采用箱线图法建立基线，在EXCEL中计算结果如下：

Q1=0.37

Q2=0.65

Q3=0.89

IQR=0.52

于是建立基线如下：

下限：0 （负数无意义，故取值为0）

中值：0.65

上限：1.67