回溯法（子集树）----- 装载问题

一，问题描述

有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船上，其中集装箱i的重量为wi，且w1+w2+...+wn <= c1+c2;

装载问题要求确定，是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。

例如，当n=3,c1=c2=50,且w=[10,40,40]时，可将集装箱1和集装箱2装上一艘轮船，而将集装箱3装在第二艘轮船；如果w=[20,40,40],则无法将这3个集装箱都装上轮船。

当w1+w2+...+wn = c1+c2时，装载问题等价于子集和问题。当c1=c2，且w1+w2+...+wn = 2c1时，装载问题等价于划分问题。

即使限制wi，i=1,2,...,n为整数，c1和c2也是整数。子集和问题与划分问题都是NP难的。由此可知，装载问题也是NP难的。

容易证明，如果一个给定的装载问题有解，则采用下面的策略可以得到最优装载方案。

（1） 首先将第一艘轮船尽可能装满。

（2） 然后将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近c1。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题：

max(w1x1+w2x2+...+wixi)

(w1x1+w2x2+...+wixi)<= c1;

xi @{0,1},1<=i<=n

当然可以用第三章中讨论过的动态规划算反解这个特殊的0-1背包问题。所需的计算时间是O(min{c1,2n})。下面讨论用回溯法设计解装载问题O(2n)计算时间算法。在某些情况下该算法优于动态规划算法。

2 算法设计

用回溯法解装载问题时，用子集树表示其解空间显然是最合适的。可行性约束函数可剪去不满足约束条件（

(w1x1+w2x2+...+wixi)<= c1）的子树。在子集树的第j+1层的节点Z处，用cw记当前的装载重量，即cw=(w1x1+w2x2+...+wjxj)，当cw>c1时，以节点Z为根的子树中所有节点都不满足约束条件，因而该子树中解均为不可行解，故可将该子树剪去。

下面的解装载问题的回溯中，算法MaxLoading返回不超过C的最大子集和，但并未给出达到这个最大子集和的相应子集。稍后加以完善。

算法Maxloading调用递归函数Backtrack(1)实现回溯搜索。Backtrack(i)搜索子集树中第i层子树。类Loading的数据成语。记录子集树中结点信息，以减少歘给Backtrack的参数。cw记录当前结点所相应的装载重量，bestw记录当前最大装载重量。

在算法Backtrack中，当i>n时，算法搜索至叶节点，其相应的装载重量为cw。如果cw>bestw，则表示当前解优于当前最优解，此时应更新bestw。

当i<=n时，当前扩展结点Z是子集树中的内部节点。该结点有x[i]=1和x[i]=0两个儿子结点。其左儿子结点表示x[i]=1的情形，仅当cw+w[i] <=c时进入左子树，对左子树进行递归搜索。其右儿子结点表示x[i]=0的情形。由于可行结点的右儿子结点总是可行的，故进入右子树时不需要检查可行性。

算法Backtrack动态地生成问题的解空间树。在每个结点出算法花费O(1)时间。子集树种结点个数为O(2n),，故Backtrack所需的计算时间O(2n)。另外Backtrack还需要额外的O(n)的递归栈空间。

template <class Type>
class Loading{
friend Type MaxLoading(Type [],Type ,int);
private:
void Backtrack(int i);
int n; //集装箱数
Type * w,  //集装箱重量数组
c ,   //第一艘轮船的载重量
cw ,  //当前载重量
bestw; //当前最优载重量
};
template <class Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i)
{
if(i>n)
{//到达叶子节点
if(cw>bestw) bestw=cw;
return;
}
//搜索子树
if(cw+w[i]<=c)
{//x[i] =1;
cw+=w[i];
Backtrack(i+1);
cw-=w[i];
}
Backtrack(i+1);//x[i]=0;
}

template <class Type>
Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n)
{
Loading <Type> X;
X.w = w;
X.c =c;
X.n =n;
X.bestw =0;
X.cw =0;
X.Backtrack(1);
return X.bestw;
}