【动态规划】【APIO2010】特别行动队 commando

题目见APIO2010官网
http://www.apio2010.org
一下为自己最初写的很XX的题解，很乱，不想看的可以直接跳到红字部分。

朴素的DP方程是 f[i]=max(f[j]+g(s[i]-s[j])); g(x)=a*x*x+b*x+c;

期望的分数是50分

我们设f[j]+g(s[i]-s[j])>=f[k]+g(s[i]-s[k])

展开之后有 f[j]-f[k]+a*(s[j]^2-s[k]^2)+b*(s[k]-s[j])>=2*a*s[i]*(s[j]-s[k])

对于j<k 有 s[j]<s[k] 两边同除 s[j]-s[k] -> f[j]-f[k]+a*(s[j]^2-s[k]^2)+b*(s[k]-s[j])/(s[j]-s[k])<=2*a*s[i]

那么左边预处理一下就可以了，我们设f[j,k]=f[j]-f[k]+a*(s[j]^2-s[k]^2)+b*(s[k]-s[j])/(s[j]-s[k])

维护一个队列 d1,d2,d3...dn 满足 d1<d2<d3...<dn 且 h[d1,d2]<=h[d2,d3]...<=h[dn-1,dn]

具体方法是 在q数组里存储d1..dn　循环i=1 ->n ，从左到右找到满足不等式的第一个q[l]，即为当前的最优解，因为前面的解都优于后面的解，然后更新f[i],在队列右边加上i这个点，注意要满足队列的性质。

这个是我找到的最好的关于斜率优化的解说： http://wtommy.ycool.com/post.2715045.html
程序一共跑了3.1秒

#include <fstream>
#define maxn 1000010
using namespace std;
typedef unsigned long long big;
ifstream cin("commando.in");
ofstream cout("commando.ans");
int n,a,b,c;
big q[maxn],s[maxn],f[maxn];
void init(){
cin>>n>>a>>b>>c;
for (int i=1;i<=n;++i){
cin>>s[i];
s[i]+=s[i-1];
}
}
big H(int j,int k){
return f[j]-f[k]+a*(s[j]*s[j]-s[k]*s[k])+b*(s[k]-s[j]);
}
void solve(){
big l,r,best,temp;
q[l=r=0]=0;
for (int i=1;i<=n;++i){
while (l<r&&H(q[l],q[l+1])<=2*a*s[i]*(s[q[l]]-s[q[l+1]])) ++l;
best=q[l]; temp=s[i]-s[best];
f[i]=f[best]+a*temp*temp+b*temp+c;
while (l<r&&H(q[r-1],q[r])*(s[q[r]]-s[i])<=H(q[r],i)*(s[q[r-1]]-s[q[r]])) --r;
q[++r]=i;
}
cout<<f
<<endl;
}
int main(){
init();
solve();
return 0;
}