ZOJ 1088 约瑟夫问题
2010-05-11 10:13
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//1088约瑟夫问题
// 这里我用了简化算法,参考以下的说明,只是有点不同先把第一个删掉,从第二个开始数,
// 循环n-1遍(因为已去掉首个),最终剩下当前的第一个结束。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
while(cin>>n && n!=0)
{
int i;
int ans;
for(i=2;i<=32767;i++)
{
ans=0;
int j;
for(j=2;j<n;j++) // 与这个for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;区别
ans=(ans+i)%j;
if(ans==0) //相当于ans+1==1时结束
{
cout<<i<<endl;
break;
}
}
}
return 0;
}
/* 网上copy的问题算法
约瑟夫环问题的优化
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f
+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
#include <stdio.h>
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。
note: m=2约瑟夫问题在Knuth的著作《具体数学》中有介绍,它采用了一种更高效的方法,可以用一个代数式来表示结果。类似的我已经推出m>2的递推公式情形,不过还没办法转换成单个代数式,而且程序实现起来可能比较麻烦,所以只好作罢。
*改进的递推公式
(1)i<m时 f[i]=(f[i-1]+m)%i;
(2)i>=m时 令i=km+r (0<=r<m) 则 f[i]=f[km+r]=f[k(m-1)+r]-r+floor((f[k(m-1)+r]-r-1)/(m-1))
*/
//1088约瑟夫问题
// 这里我用了简化算法,参考以下的说明,只是有点不同先把第一个删掉,从第二个开始数,
// 循环n-1遍(因为已去掉首个),最终剩下当前的第一个结束。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
while(cin>>n && n!=0)
{
int i;
int ans;
for(i=2;i<=32767;i++)
{
ans=0;
int j;
for(j=2;j<n;j++) // 与这个for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;区别
ans=(ans+i)%j;
if(ans==0) //相当于ans+1==1时结束
{
cout<<i<<endl;
break;
}
}
}
return 0;
}
/* 网上copy的问题算法
约瑟夫环问题的优化
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f
+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
#include <stdio.h>
main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。
note: m=2约瑟夫问题在Knuth的著作《具体数学》中有介绍,它采用了一种更高效的方法,可以用一个代数式来表示结果。类似的我已经推出m>2的递推公式情形,不过还没办法转换成单个代数式,而且程序实现起来可能比较麻烦,所以只好作罢。
*改进的递推公式
(1)i<m时 f[i]=(f[i-1]+m)%i;
(2)i>=m时 令i=km+r (0<=r<m) 则 f[i]=f[km+r]=f[k(m-1)+r]-r+floor((f[k(m-1)+r]-r-1)/(m-1))
*/
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