傅里叶分析中几个容易混淆的概念(转帖)

转自 http://blog.ednchina.com/yrwusignal/288071/message.aspx http://blog.csdn.net/dznlong/archive/2008/04/08/2261150.aspx
傅里叶分析可以说是信号处理最重要的基石之一。但傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等几个有点像又有点不像的概念，不仅经常搞得初学者晕头转向，有时候让老手也有点糊涂。

根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：

1	非周期性连续信号	傅立叶变换（Fourier Transform）
2	周期性连续信号	傅立叶级数(Fourier Series)
3	非周期性离散信号	离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4	周期性离散信号	离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

下图是四种原信号图例：



1、


傅里叶级数 --

周期连续信号的傅里叶分析

在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。

定义


设


是


上以


为周期的函数，且


在


上绝对可积，称形如



的函数项级数为


的 Fourier级数
或三角级数
(


的 Fourier展开式)，其中



，


，


记为


以


为周期的函数的Fourier级数

设


是以


为周期的函数，令



可以把


变换成以


为周期的t
的函数


。若


在


一可积，则



在


上可积，且


的Fourier级数展开式是



（1）

其中


（2）

因为


，所以


，于是由（1）（2）分别得



（3）

与



（4）

这里（4）式是以


为周期的函数


的Fourier系数，（3）式是


的Fourier级数。

2、


傅里叶变换 --

非周期连续信号的傅里叶分析

对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。

对于非周期信号





前者是由信号的时间函数变换成频率函数，称为傅里叶正变换式，有时记为



或


后者是由信号的频率函数变换为时间函数，称为傅里叶反变换式。有时记为



或


如果上述变换中的自变量不用角频率



而用频率


，则由于


，可写为



频谱密度函数



是一复变函数，可以写为



式中



和


分别为


的模和相位，


和


分别为


的实部和虚部。

傅里叶反变换式也可写成



可见一个非周期信号



也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量，也可以分解为t
的复变函数。若


是实函数，则


和


分别是ω的偶函数和奇函数，并且



3、


离散时间傅里叶变换 --

非周期离散信号的傅里叶分析

傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（
DTFT
）和离散傅里叶变换（
DFT
）。

对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。

记连续时间信号f
(t
)
的采样为


，
其傅里叶变换
为



这就是采样序列f
(n
T
)
的DTFT：



为方便起见，通常将采样间隔T归一化，则有



上式即为f
(n
)
的离散时间傅里叶变换
。
它的反变换
为：



考虑到DTFT的周期性（参见频
谱周期性

），它的逆变换实际上是以周期的连续函数作为输入，离散的谱作为输出，这正是傅里叶级数
的形式。

4、


离散傅里叶变换 --

周期离散信号的傅里叶分析

对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。当然，关于
DFT
是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。有的认为进行
DFT
分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把
DFT
看做是对
DTFT
结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。在实际分析中，将
DFT
看做是对
DTFT
结果在频域的采样是合乎情理的。

下面给出离散傅里叶变换的变换对：

对于N
点序列


，
它的离散傅里叶变换（DFT）为



其中e

是自然对数
的底数
，i

是虚数单位
。通常以符号


表
示这一变换，即



离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：



可以记为：



实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1
和1/N
。
有时会将这两个系数都改成


。

这上面的四个与傅里叶分析有关的概念，最重要的是
DFT
。因为前面三种分析都需要假定信号的时域及频域都是无限长的。从概念上讲，虽然
DFT
也需要时域频域无限长，但由于时域频域都是周期的，因此只需要一个周期的信息即可。另外，由于计算机等数字设备只能
处理数字信号，也即是要求无论是时域还是频域，都要是离散的。因此，
DFT
在实践中占有最重要的地位。傅里叶级数，傅里叶变换，离散时间傅里叶变换
这三个概念则更多的用于理论分析中。