- 1 + 2^7 = 127 这样的算式有多少个？

或许有人会对算式 5^2 = 25 有一种特别的偏好——等式左右两边都用到了相同的数字，让人深感奇妙。类似的算式还有很多，例如

5^(6 - 2) = 625

(4 / 2)^10 = 1024

((86 + 2 * 7)^5 - 91) / 3^4 = 123456789

我们自然而然地提出了这样一个问题：这样的算式究竟有多少呢？答案是：无穷多。只需要借助本文一开始提到的算式 5^2 = 25 ，我们就能轻易构造出无穷多个同样满足这种神奇性质的算式来：

50^2 + 0 = 2500

500^2 + 0 + 0 = 250000

5000^2 + 0 + 0 + 0 = 25000000

......

现在，让我们来看看另一类更加精妙的算式：等式两边的数字顺序也完全一样！

- 1 + 2^7 = 127

(3 + 4)^3 = 343

16^3 * (8 - 4) = 16384

这样的算式是否仍然有无穷多个呢？



答案仍然是肯定的，并且有趣的是，它的构造仍然可以由经典算式 5^2 = 25 扩展得到。把前面提到的 50^2 + 0 = 2500 稍微改造一下，我们便可以得到一个两边数字顺序也相同的等式：

2 + 50^2 = 2502

它可以继续衍生出无穷多个满足要求的式子：

2 + (500 + 0)^2 = 250002

2 + (5000 + 0 + 0)^2 = 25000002

2 + (50000 + 0 + 0 + 0)^2 = 2500000002

......

由此可见，即使要求等式两边的数字顺序也一模一样，符合要求的式子依旧有无穷多个。



不过，上面这些构造都只在十进制中成立。在其它进制下，这种算式还是无穷多的吗？上个月的 UyHiP 谜题中就讨论了这个有趣的话题。事实上，我们只需要一个巧妙的构造就可以说明，在所用进制中，这种算式都有无限多。考虑算式

(m + 9/9) * (9 + 9/9)^(9 + 9/9) - 9/9

= (m + 1) * 10^10 - 1

= m * 10^10 + 9999999999

显然对任意正整数 m ，等式最左边和最右边所用的数字（包括顺序）都完全相同。我们很容易对这个式子进行改造，使它适用于任一进制。例如，为了得到一个八进制下的公式，只需要把式中的 9 全部换成 7 ，然后把指数部分改为 77 + 7/7 + 7/7 + 7/7 + ... 。注意到每添加一个 7/7 将使得算式中多出两个 7 ，但计算结果中只会多出一个 7 。因此，只要初始时把指数设为一个比算式中已有 7 的数目更大的数（比如 77 ），在其后面不断添加 7/7 ，总有一个时候计算结果和算式中数字 7 的个数恰好一样多。