动态规划　－　硬币问题

1. 问题描述：

给定n种硬币，每种硬币有很多枚，每个硬币的值分别为v1,v2..vn，给定一个价格为m的商品，问可以有多少种付款的方法？

2. 解题思路：

这种问题是非常典型的动态规划问题，不过要搞清楚在这个问题中动态规划的“状态”以及“状态转移方程”是什么 ？

1. 状态：这道题当中的“状态i”为使用前“i”种硬币时能有多少种付款方式，这里我们用d[i][v]表示使用前“i”种硬币付款价格为“m”的商品有多少种方式。

2. 状态转移方程：先给出状态转移方程 d[i][m] =d[i-1][m]+d[i][m-vi] .

下面解释一下这个方程，对于使用前"i"种硬币付款一个为m的商品的方法包括：使用面值为v1,v2....v(i-1)的硬币购买这个商品的所有方法数，以及使用v1,v2,....vi种硬币先凑出m-vi块钱的方法数，然后再加上vi块钱同样是解。

3.对于上面问题的简化：依照上面问题的思路我们需要一个二维数组来解答这个问题，不过仔细观察这个状态转移方程我们可以发现，对于d[i][*]来说使用到的数组元素都是d
[*]这里的n<=i，所以这里数组的第一维我们可以略去通过循环累加赋值来实现，我们使用d[m]来表示当前能够表示v商品的所有的付款方式

3. 代码

d[0] = 1;
for (int j = 1 ;j<=10000;j++){
for (int i=1;i<=21;i++){
if(j>=value[i]){
d[j] = d[j] + d[j -value[i]];
}
}
}

最后计算出的d[m]就是利用n种硬币表示价格为m的商品的方法～