矩阵的转置与矩阵的逆

矩阵的转置
设

是一个

矩阵, 将

的行与列互换, 得到的一个

矩阵


.
称

为

的转置矩阵, 简称为

的转置.
矩阵转置的运算规律见提示 2.4.

例 6 证明: 任何一个

阶方阵总可以唯一地写成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.

证明 设

是一个

阶方阵. 令



那么



所以是对称矩阵. 又因为



故

为反对称矩阵, 且


.
所以

可表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.
我们将唯一性的证明留给读者.
对于一个方阵

, 我们可以考虑所对应的行列式



称

为矩阵

的行列式. 如果

, 则称方阵

是非退化的.

定理 1

两个

阶方阵乘积的行列式等于因子的行列式的乘积, 即:

.
定义 1

设

是

阶方阵, 若存在

阶方阵

, 使得


,
则称

是可逆矩阵(或可逆方阵), 称

为

的逆矩阵(或逆方阵), 记作

.
定义 2

设

阶方阵

,

是

中元素

的代数余子式, 则矩阵



称为的伴随矩阵.
由行列式按行展开定理可知,


,
所以我们可得
定理 2

方阵

可逆的充分必要条件是

是非退化的, 且当

可逆时,

的逆方阵



其中

是

的伴随矩阵.
例 7 判断 3 阶方阵



是否可逆. 如果可逆, 求逆矩阵

.

解 因为

, 所以由定理 2.2 知

可逆, 并且



为求

, 计算

的各元素的代数余子式, 得



因此

的伴随矩阵


,
所以,


.
矩阵的逆具有如下一些性质
(1) 如果

,

都是可逆矩阵, 那么

也可逆, 且

.
(2) 如果

可逆,

是一非零数, 则

也可逆, 且

.
(3) 如果

可逆, 则

也可逆, 且

.
(4) 如果

可逆, 则

.

矩阵的初等变换

定义 3

矩阵的初等行变换是指对矩阵施行以下三种类型的变换:
1. 用一个非零数乘矩阵的某行中的每个元素;
2. 交换矩阵的两行;
3. 把矩阵某一行乘以一个数后加到另一行.
相应地, 我们也可以定义矩阵的初等列变换.
下面我们介绍矩阵求逆的另一种方法, 即:初等变换法.
对给定的

阶可逆方阵

, 将一个

阶单位方阵

放在

的右边构成一个

阶矩阵

, 对该矩阵施行初等行变换, 目标是把左半边的

化为单位方阵

, 此时右半边的

跟着进行了同样的变换,它就是我们要求的

, 即


.
例 8 设



求

.
解 我们用(I),(II),(III)分别来表示矩阵的第一、二、三行, 则

















所以,