递归还是不递归，That‘s a problem！ 推荐

今天我班的大神心血来潮，居然找了本算法的书看起来了，里面有很多经典的例子，大神在编程方面是一张白纸，所以看到讲解递归的部分时就傻了眼，比如书上讲解求Fibonacci数列时就用的是递归算法，相当的简洁明了，代码如下：
unsigned long fibonacci (int n)

{

if (n <= 2)

{

return 1;

}

else

{

return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);

}

}
我对于递归的思想很是赞同的，有化繁为简，分而治之的想法在里面，就好像很多编程思想一样，如：动态规划等等。但我认为大部分的递归想法仅仅是在人的接受能力上进行了化简，这是后话。其实递归算法是很好理解的，只是大神还不习惯罢了。如上的程序是运用数列的递推公式非常明白的写出来的。但就如我所言，这个递归算法其实浪费了很多CPU资源，我们可以仔细分析一下，比如：
f(5) = f(4) + f(3)

= f(3) + f(2) + f(2) + f(1)

= f(2) + f(1) + f(2) + f(2) + f(1)

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1
这里计算f(5)就用到了12个加法，其实我们可以发现我们把f(3)算出来后f(4)其实不用像我这样拆开来算的，直接用f(3)的结果就行了，换句话说即充分利用所求项等于前两项的和，而这两项之间又有关系，不难想到，可以写出一个不使用递归的算法如下：
unsigned long fibonacci (int n)

{

unsigned long f0, f1, temp;

int i;

if (n <= 2)

{

return 1;

}

else

{

for (f0 = f1 = 1, i = 3; i <= n; i++)

{

temp = f0 + f1;

f0 = f1;

f1 = temp;

}

return f1;

}

}
这个算法用一个变量temp保存两个前项之和，然后及时更新f0和f1，最后那个return返回temp也是可以的，因为我的temp保存的内容和f1一样。可以再看一下我们计算f(5)时做了多少个加法，仔细一数是仅仅只用了三个加法，大大减少了运算开销，而其上面那个递归程序因为在不停的调用函数，所以还会消耗一定的函数调用栈。为什么大牛们都说除非是实在太繁杂，否则别用递归，原因可见一二。我把我的想法向班上的大牛说了下，他马上告诉我一个在一本书上的更快的算法，这着实让我们班一群小草很是震惊，他说是这么想的，由我上面那个非递归的算法可以推出在算f(n)时最多不会超过n-2个加法，要加快程序只能把加法继续减少，这里才是思维的精髓，事实上一般减少加法的方法就是使用乘法，不过后来我想到乘法器比加法器要复杂，所以能够提高的效率我们并不可知，不过这种思想确实不一般。曾经在线性代数课上老师也介绍过一个伪Fibonacci矩阵，即一个2*2的矩阵，第一行元素为1,1，第二行为1,0。我们发现f(n)的值就是这个矩阵n-2次方后在第一行上的两个元素的和，如f(5)就等于把这个矩阵3次方后，此时第一行的两个元素分别为3和2，所以f(5) = 3 + 2。这个要推也很简单，算一两个就发现这个规律了，依据这个思想，他写下了如下的代码：
unsigned long fibonacci (int n)

{

unsigned long a, b, c, d;

int i;

if (n <= 2)

{

return 1;

}

else

{

matrix_power(1,1,1,1,n-2,&a,&b,&c,&d);

return f1;

}

}

//计算矩阵的n次方

matrix_power(unsigned long a, unsigned long b, unsigned long c, unsigned long d, int n,

unsigned long *aa, unsigned long *bb, unsigned long *cc, unsigned long *dd)

{

unsigned long xa, xb, xc, xd;

if (1 == n)

{

*aa = a, *bb = b, *cc = c, *dd = d;

}

else if (n & 0x01 == 1)

{

matrix_power(a, b, c, d, n-1, &xa, &xb, *xc, *xd);

*aa = a * xa + b * xc;

*bb = a * xb + b * xd;

*cc = c * xa + d * xc;

*dd = c * xb + d * xd;

}

else

{

matrix_power(a, b, c, d, n>>1, &xa, &xb, &xc, &xd);

*aa = xa * xa + xb * xc;

*bb = xa * xb + xb * xd;

*cc = xc * xa + xd * xc;

*dd = xc * xb + xd * xd;

}

}
我们还可以发现这段代码在求矩阵的n次方时用了一个分治的思想，判断n的奇偶，如果是偶数就递归求出n/2次方再平方，若是奇数就写成M*M的偶数次方，这里居然又用了递归，倒！原本是不想递归才绕了这么一大圈子，现在又回到原点了，实在不好意思去求大牛了， 只好自己动手丰衣足食，不就是求一个矩阵的n次方吗？看我也不用递归。矩阵弄在一起太复杂，我就假设是求一个数m的n次方吧！如果是按递归算法求m的n次方，然后把每次递归调用时传入的n值列出来我发现一个惊人的事实，那就是每次调用时n均为2的倍数，这时我似乎看到了些什么，于是我仔细研究了下，加上大胆的猜想，终于让我发现了一个规律，在求m的n次方时可以把n写成二进制数，找到二进制位为1的位，然后可以将n写成2的这些位所对应的权值之和，于是m的n次方就能写成m的这些权值次方的和了，比如求m的9次方，将9写成二进制数为1001，所以9 = 2的0次方 + 2的3次方，令a = 2的0次方，b = 2的3次方，则m的9次方 = m的a次方 + m的b次方。这样一来我只需要遍历n的二进制位就行了，于是我迅速修改了上面求矩阵的n次方的代码：
//改变出参的值

getTemp(unsigned long **aa, unsigned long **bb, unsigned long **cc, unsigned long **dd,

unsigned long a, unsigned long b, unsigned long c, unsigned long d)

{

unsigned long tempa = **aa, tempb = **bb, tempc = **cc, tempd = **dd;

tempa = **aa * a + (**bb) * c;

tempb = **aa * b + (**bb) * d;

tempc = **cc * a + (**dd) * c;

tempd = **cc * b + (**dd) * d;

**aa = tempa;

**bb = tempb;

**cc = tempc;

**dd = tempd;

}
//计算矩阵的n次方修正版

matrix_power(unsigned long a, unsigned long b, unsigned long c, unsigned long d, int n,

unsigned long *aa, unsigned long *bb, unsigned long *cc, unsigned long *dd)

{

unsigned long xa = a, xb = b, xc = c, xd = d;

unsigned long tempa = a, tempb = b, tempc = c, tempd = d;

int flageven = 0, flag = 1;

if (!(n & 0x01UL))

{

flageven = 1;

}

while (n > 0)

{

if (1 == (n & 0x01UL))

{

if (1 == flag)

{

*aa = a;

*bb = b;

*cc = c;

*dd = d;

flag = 0;

if (1 == flageven)

{

getTemp(&aa, &bb, &cc, &dd, xa, xb, xc, xd);

}

}

else

{

getTemp(&aa, &bb, &cc, &dd, xa, xb, xc, xd);

}

}

tempa = xa * a + xb * c;

tempb = xa * b + xb * d;

tempc = xc * a + xd * c;

tempd = xc * b + xd * d;

xa = tempa;

xb = tempb;

xc = tempc;

xd = tempd;

n >>= 1;

}

}
忙活了半个晚上终于结束了这场和递归的战斗，至此这个Fibonacci数列总算被阶段性拿下，一个我认为可以接受的非递归算法出炉。关于递归还有很多可以讨论一下，不过现在已经早上了，我还是先去休息一下，过段时间再来和大家分享一下自己的递归心得。同时也希望大家对我上面的算法有什么建议或是置疑都可以提出来，我们共同探讨，互联网最方便的应该是交流了，我期待您的关注。