中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理可以描述为：
若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则可表示为下式：
x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD
其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数，而且被d1除，余数为1；（称为R1相对于d1的数论倒数）
R1 、
R2 、
…  、
Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数，而且被dn除，余数为1；
D是d1、d2、…、的最小公倍数；
R是任意整数（代表倍数），可根据实际需要决定；
且d1、、…、必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，…，n)都能求得.
（注：因为R1对d1求余为1，所以R1r1对d1求余为r1，这就是为什么是R1对d1求余为1的目的，其次，R2r2,R3r3…Rnrn对d1求余都是0）
 
如要讨论中国利余定理，同余（congruence）的概念可算是必须。
给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说，a≡b(mod n)等同于a＝b+kn，而a，b，k，n都是整数，所以，13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。 

但同余并不只是一个代号，而是有很方便和有趣的特性。（一）整数加法跟普通加法相似，a+c≡(b+c)(mod n)；（二）整数乘法跟普通乘法相似，ac≡bc(mod n)，而a，b，c，n都是整数。但如果ac≡bc(mod n)，则不一定a≡b(mod n)。 

以「鬼谷算」为例，假设x是那个未知数，而除3，5，7后的余数分别为r1，r2，r3。因此有 

x≡r1(mod 3) 
 
x≡r2(mod 5) 
 
x≡r3(mod 7) 
 
而另一方面

70＝(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7) 
 
21＝(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7) 
 
15＝(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5) 
 
由同余的特性，我们有 

70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7) 
 
21r2≡0(mod 3)、 21r2≡r2(mod 5)及21r2≡0(mod 7) 
 
15r3≡0(mod 3)、 15r3≡0(mod 5)及15r3≡r3(mod 7) 
 

因此亦有 

70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3) 
 
70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5) 
 
70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7) 
所以
x≡70r1+21r2+15r3+3m
x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p

 最后得到这个精彩的结果，x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105)，而105正便是3，5，7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的，要找到最小值才要减105。
 
对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法：
中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数，不管是不是最小的，如果不是最小的就不断减公倍数，中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加，例如：
假设满足条件的数为：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1：除以3余1，我们看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，选择b=2就满足
再满足条件2：除以5余2，考虑第三部分就行了，选择c=2就满足
最后满足条件3：除以7余3，考虑第一部分就行了，选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍数大，减去公倍数，157-105=52是满足条件最小数
 
以我个人理解写成下面这个形式（以3个数为例）
X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为：
X%a = r1                     x%b = r2                     x%c = r3
bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1
所以
x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3
 
 
 
下面以一个例子来把中国剩余定理用于实践
POJ1006：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1006&lang=zh-CN&change=true
解答报告：

#include <stdio.h>
int main()
{
int R1 = 5544, R2 = 14421, R3 = 1288, R = 21252;
int ph, em, in, day;
int res,i;
for(i=1; 1; i++){
scanf("%d%d%d%d", &ph, &em, &in, &day);
if(ph==-1)break;
res = (R1 * ph + R2 * em + R3 * in – day) % R;
res = (res + R – 1) % R + 1;//若上面的res是负数则使res变成正数
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days./n", i, res);
}
return 0;
}
/****************************************************
//find the value of R1, R2 and R3 according to 中国剩余定理
int main()
{
int i;
int R1, R2, R3;
for(i=1, R1=28*33; 1; i++)
if(R1*i%23==1)break;
R1 *= i;
for(i=1, R2=23*33; 1; i++)
if(R2*i%28==1) break;
R2 *= i;
for(i=1, R3=23*28; 1; i++)
if(R3*i%33==1) break;
R3 *= i;
printf("R1 = %d /nR2 = %d/nR3 = %d/n",R1,R2,R3);
return 0;
}
*****************************************************/

 
 
 
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