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快速幂取模算法模板

2010-03-15 12:29 302 查看
快速模取幂算法~
2009-07-07 19:37
快速模取幂
数论计算中经常出现的一种运算就是求一个数的幂ab对另外一个数n个模的运算，即计算:
ab mod n (a,b,n是正整数)
由于计算机只能表示有限位的整数，所以编程时模取幂的运算要注意值的大小范围，当ab的值超过整数范围时,mod运算便无法进行。
如何解决这个问题，我们引出一个能计算ab mod n的值的有用算法——反复平方法，首先我们必须明确：
d=ab mod n=(…((((a mod n)*a)mod n)*a)mod n…*a)mod n {共b个a}
由此可以引出一个迭代式
d:=a;
for i:=2 to b do
d:=d mod n*a;
d:=d mod n;
时间复杂度为O（b），当b很大时，效率很低。我们可以将b转换为二进制数<bk,bk-1,...,b1,b0>,然后从最低位b0开始，由右至左逐位扫描，每次迭代时，用到下面两个恒等式：
a2c mod n =(ac)2 mod n bi=0
a2c+1 mod n =a*(ac)2 mod n bi=1 (0<=c<=b)
其中c为b的二进制数的后缀（bi-1...b0）对应的十进制数，当c成倍增加时，算法保持d=ac mod n不变，直至c=b。
程序实现可如下：
long long result(long long a,long long b,long long m)
{
long long d,t;

d=1;
t=a;
while (b>0)
{
if (b%2==1)
d=(d*t)%m;
b/=2;
t=(t*t)%m;
}

return d;
}

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