扩展的欧几里得算法
2010-03-04 10:08
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扩展的欧几里得算法
欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证 欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为: int Gcd(int a, int b) { if(b == 0) return a; return Gcd(b, a % b); } 当然你也可以写成迭代形式: int Gcd(int a, int b) { while(b != 0) { int r = b; b = a % b; a = r; } return a; } 本质上都是用的上面那个原理。 补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q * b = Gcd(p, q) (解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现: int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int r = exGcd(b, a % b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; return r; } 把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。 可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y) 补充:关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法 对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。 上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足: p = p0 + b/Gcd(p, q) * t q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数) 至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。 |