一道经典的关于Fibonacci数列的面试题（问题）的新想法 -> N阶楼梯问题

在网上有很多关于Fibonacci数列的介绍，但有相当一部分介绍存在定义上的错误。

Fibonaaci数列的经典定义是F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)，例如，第1到5项（不包括第0项）应该是1,1,2,3,5
还存在一种定义是F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>2)，这种定义没有定义F(0)的值，但实际上是符合经典定义的。

但是网上存在很多错误定义：F(0)=1, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1) ，这样第1到5项（不包括第0项）变成了1,2,3,5,8，基于这种定义，F(2)=2，明显是错误的。

关键错误在于错误定义了前2项的值。而这样的错误定义是不能完足Fibonacci数列的通项公式的:


基于这种错误定义，可以发现对于一道经典的Fibonacci数列问题（N阶楼梯问题）的普遍解法和答案是错误的。请参考http://zhidao.baidu.com/question/89441707.html

问题是：

有N阶楼梯，上楼梯的人可以一次上一阶，也可以一次上两阶，那有多少种方案可以走完这N阶楼梯。
普遍解法是将这个问题建模为Fibonacci通项公式问题，普遍答案是F(n)。

思路是通过Fibonacci数列进行数学建模。将走完N阶楼梯的所有方案进行等阶类划分得到两类方案：
1. 最后一步上一阶的方案

2. 最后一步上两阶的方案

这样可以得出F(1)=1, F(2)=2, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>2)。到目前为止，这种建模方法还是正确的。
不要一看到F(n)=F(n-1)+F(n-2)就情不自禁的去套用Fibonacci通项公式，因为基于这种建模方法得出的数列递归定义中的前两项并不满足Fibonacci经典定义。

所以，N阶楼梯问题的答案不是F(n)。

实际上， 虽然这种建模方式不满足Fibonacci定义，但还好它的递归定义的形式和Fibonacci数列相同。那我们可以对它进行一些变换，从而将其构造成Fibonacci数列：

设S(x)为走完n阶楼梯的所有方案数量，x=n+1。则S(x)=0 (x=0), S(x)=1 (x=1), S(x)=1 (x=2), S(x)=S(x-1)+S(x-2) (n>2)。

在这种情况下S(x)=F(n+1), 而S(x)可以套用Fibonacci通项公式。

所以走完n阶楼梯的所有方案数量应该为F(n+1)