经典证明:任何可数集都含有不可数个嵌套子集
2009-11-14 17:29
417 查看
你相信吗?对于任意一个可数集,总能找出不可数个子集,使得从中任取两个集合,其中一个都是另一个的真子集。乍看之下,这似乎是不可能的。如果任两个集合之间都具有“其中一个是另一个的真子集”的关系,那它们就能构成一个“集合序列”(准确地说是全序关系),使得每个集合都是由它前面那个集合添加进若干元素得到;换句话说,我们能通过不断往一个空集中添加新的元素依次得到所有这些集合。但是如果这些集合中的元素就只有可数个,那这个“集合序列”中怎么会有不可数个集合呢?然而,涉及到无穷的问题总是那样违背直觉。下面我们只用三行字就能说明,这个命题的的确确是成立的。
由于可数集与可数集之间总存在一一对应的关系,为了证明原命题,我们只需要说明命题对某个特定的可数集成立即可。对于全体有理数集Q来说,该命题是成立的。对每一个实数r,令集合S_r = {q|q∈Q且q<r}。根据这个定义,我们得到了不可数个形如S_r的集合,显然从中任取两个集合,其中一个都是另一个的真子集。
来源:http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/NestedSubsets.shtml
由于可数集与可数集之间总存在一一对应的关系,为了证明原命题,我们只需要说明命题对某个特定的可数集成立即可。对于全体有理数集Q来说,该命题是成立的。对每一个实数r,令集合S_r = {q|q∈Q且q<r}。根据这个定义,我们得到了不可数个形如S_r的集合,显然从中任取两个集合,其中一个都是另一个的真子集。
来源:http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/NestedSubsets.shtml
相关文章推荐
- 利用自然数的标准分解证明可数集合的所有有限子集形成的集合是可数集
- 利用自然数的标准分解证明可数集合的所有有限子集形成的集合是可数集
- 经典证明:任何正整数着色方案中都含任意长的单色等差数列
- 利用素数证明可数集的所有有限子集形成的集合是可数集
- [经典算法] 排列组合-N元素集合的所有子集(一)
- 经典证明:几个利用概率法进行证明的例子
- [算法导论]Floyd-Warshall算法及其证明[DP的经典应用]
- 关于IE只能嵌套27层表格的说法证明
- NYOJ 16 矩形嵌套(经典动态规划)
- 经典证明:Prüfer编码与Cayley公式
- MVC 表单提交多个实体 (带嵌套子集)
- 入门经典 第七章 7.3.3 二进制生成子集
- 经典证明:不用数学归纳法直接推导平面图的Euler公式
- 证明:含有n个结点的二叉链表中共有n+1个空链域
- 证明实数区间不可数的新方法
- 任何国家都无法限制数字货币。为什么呢? 要想明白这个问题需要具备一点区块链的基础知识: 区块链使用的大致技术包括以下几种: a.点对点网络设计 b.加密技术应用 c.分布式算法的实现 d.数据存储技术 e.拜占庭算法 f.权益证明POW,POS,DPOS 原因一: 点对点网络设计 其中点对点的P2P网络是bittorent ,由于是点对点的网络,没有中心化,因此在全球分布式的网
- NYoj 16 矩形嵌套[经典动态规划1]
- 计算表达式的值(仅含有四则运算和支持括号嵌套,浮点数运算)
- 经典证明:一组凸集中任三个的交非空,则所有凸集的交非空
- [经典算法] 排列组合-N元素集合的所有子集(二)