数组中最长递增子序列-java

求数组中最长递增子序列

写一个时间复杂度尽可能低的程序，求一个一维数组（N个元素）中的最长递增子序列的长度。

例如：在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，其最长的递增子序列为1，2，4，6。

分析与解法

根据题目的要求，求一维数组中的最长递增子序列，也就是找一个标号的序列b[0],b[1],…,b[m](0 <= b[0] < b[1] < … < b[m] < N)，使得array[b[0]]<array[b[1]]<…<array[b[m]]。

解法一

根据无后效性的定义我们知道，将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态来说，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能间接地通过当前的这个状态来影响。换句话说，每个状态都是历史的一个完整总结。

同样的，仍以序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7为例，我们在找到4之后，并不关心4之前的两个值具体是怎样，因为它对找到6没有直接影响。因此，这个问题满足无后效性，可以通过使用动态规划来解决。

可以通过数字的规律来分析目标串：1，-1，2，-3，4，-5，6，-7。

使用i来表示当前遍历的位置

当i=1时，显然，最长的递增序列为（1），序列长度为1.

当i=2是，由于-1<1。因此，必须丢弃第一个值后重新建立串。当前的递增序列为（-1），长度为1。

当i=3时，由于2>1,2>-1。因此，最长的递增序列为（1,2）,(-1,2),长度为2。在这里，2前面是1还是-1对求出后面的递增序列没有直接影响。（但是在其它情况下可能有影响）

依此类推之后，我们得出如下的结论。

假设在目标数组array[]的前i个元素中，最长递增子序列的长度为LIS[i]。那么，

LIS[i+1]=max{1,LIS[k]+1},array[i+1]>array[k],for any k <= i

即如果array[i+1]大于array[k],那么第i+1个元素可以接在LIS[k]长的子序列后面构成一个更长的子序列。于此同时array[i+1]本身至少可以构成一个长度为1的子序列。

根据上面的分析，就可以得到代码清单

/**
* @param args
*/
//求数组最长递增子序列
public static int lis(int [] array)
{
Integer []lis = new Integer[array.length];
for(int i =0;i<array.length;i++)
{
lis[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(array[j]<array[i]&&(lis[j]+1>lis[i]))
lis[i]=lis[j]+1;
}
}
int max=0;
for(int k=0;k<lis.length;k++)
{
if(lis[k]>max)
max=lis[k];
}
return max;
}