约瑟夫问题的另类思维

　　先说一个高斯的故事：

　　高斯10岁时，小学老师出了一道算术难题： “ 算出从1 到 100 中所有整数的和”。当时除了高斯之外的所有学生都开始从1到100的加，但是高斯确是先分析了下求和的规律 ： 1 ＋ 100 = 2 ＋ 99 = 3 ＋ 98 = …… = 50 ＋ 51 = 101 ，在算出这样的组合有多少个， 很简单就得出了答案是： 101×50 ＝ 5050 。

　　说到约瑟夫问题，我向大家都是非常熟悉的，如果让大家为这个问题编个程序，普遍想到是使用循环链表或者二维数组来解决。 这是有一次我在百度知道上看到的，当时时间不多，所以就没认真分析，今天又碰到了，就拿出来了。代码如下：

#include<stdio.h>
2
3void main()
4

　　运行结果：

　　

　　

　

　　我想用链表实现这个问题，光一个链表的代码量就完全达到这个水平了，在空间复杂度上也就不用比了。当然你完全是为了联系学习C++ 和链表就不推荐了。之所以拿出来就是为了让大家感受下数学在程序开发中的地位。

　　这个算法主要部分是一个迭代的过程——在第二个循环体内，所以就不说当 t < nPerson的情况了，我们将算法分成两个部分：

　　1. 求 t ，i * nStep, 从表达式的意思上来讲，它就是为了表示重复计数的情况下，到第 i 跳的人，总共数了多少人。

　　2. 迭代——化简 t 使其有意义。每次循环使得问题的规模减小，当 t 的正常时算法结束。

　　正如我以前写过的那篇随笔所说迭代使得程序不易看懂。不过很显然的可以看到主要是靠不断 t - nPerson 来使得 t 的值小于nPerson。不过比较难理解的是后面的那部分，(t-nPerson-1) / (nStep-1)，它是这个算法中比较重要的一个因子，它的意义是算出到t - nPerson前总过跳过多少人。每减少nPerson次就要加上跳掉的人，这样就保持了t所指向的人的恒定，可以算一下(t-nPerson-1) / (nStep-1)的值是恒小于 nPerson的，所以t不断减少指到它有意义。

　　其实这个算法写起来简单，但是其时间复杂度还是比较高的。因为当 i 很大的时候 (t-nPerson-1) / (nStep-1)的值是很接近nPerson的。