N!的尾部连续0的个数

 转载出处：http://blog.csdn.net/sailor_8318/archive/2008/10/17/3088162.aspx

 

 

Baidu和EMC的笔势题：对任意输入的正整数N，编写C程序求N!的尾部连续0的个数，并指出计算复杂度。如：18！＝6402373705728000，尾部连续0的个数是3。（不用考虑数值超出计算机整数界限的问题） 

思路分析：

本题要用数学的方法来解决效率最高，连续K个0，则说明是10^K的倍数，即(2×5)^ K= 2^K× 5^K；待求的数为N*(N-1)(N-2)………1，由于每两个数至少可以分解出1个2，2肯定比5多，因此K的个数取决于上式的分解因子中有几个5的问题；能拆解出5的只可能是5的倍数，而能拆解出多少个5则看这个数是5的几次方的倍数了

 

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方法一：

 

int ZerosForN_1(int n)

{

        int fives,result=0,i;

 

        for(fives=5; n >=fives; fives+=5)      // 循环次数为n/5

        {     

                for(i=fives; i%5==0; i/=5) // 此处的最大循环次数为 LOG5(N)

                {

                       ++result;      

                }

        }

        //printf("%d/n",result);

    return result;

}

for循环的算法复杂度最容易看出来，就是for循环的次数，最大循环次数为n/5 * LOG5(N) ，因此复杂度是O（nlogn）的

思路最清晰，即对于每个5的倍数的值，求其可被5整除的次数，即可求出最后5的因子个数和

 

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方法二：

 

int ZerosForN_2(int n)

{

        int pow5,result=0;

 

        for(pow5=5; n >=pow5; pow5*=5) // 此处的循环次数为LOG5(N)

        {

                result+=n / pow5;

        }

        //printf("%d/n",result);

    return result;

}

 

N不变，pow5以5的幂递增，此算法的思想是求出N以内所有被5整除的数的个数，所有被25整除的个数（在5的基础上多出了一个5因子），所有被125整除的个数（在25的基础上多出了一个5因子）。。。。

 

设最大数为N,
设5^(n+1)  > N  >= 5^n
[N/5] + [N/(5^2)] + [N/(5^3)] + ... + [N/(5^n)] 即为连续0的个数

上述式子的项数为log5(N)，即为循环的次数，故复杂度为log5(N)

 

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方法三：

 

[N/5] + [N/(5^2)] + [N/(5^3)] + ... + [N/(5^n)]

=[N/5] + [[N/5]/5] + [ [[N/5]/5]/5] + ... + [。。。]

=A1+ [A1/5] + [A2/5] + ... + [An-1/5]

即上述各项构成等比数列，An=An-1/5，等比为1/5

即对A1反复除5，只要其大于0，即相加，便得到以下算法：

 

int ZerosForN_3(int n)

{

    int result=0;

 

    n/=5;  // A1

 

    while(n >0)

        {

        result += n; //求和

        n/=5;         // 求An

    }

        //printf("%d/n",result);

    return result;

}

等比数列的项数为log5(N)，即为循环的次数，故复杂度为log5(N)