几个经典的博弈

一）巴什博奕（
Bash
Game
）：只有一堆
n
个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取
m
个。最后取光者得胜。

 

显然，如果
n=m+1
，那么由于一次最多只能取
m
个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果
n=
（
m+1
）
r+s
，（
r
为任意自然数，
s
≤
m),
那么先取者要拿走
s
个物品，如果后取者拿走
k
（≤
m)
个，那么先取者再拿走
m+1-k
个，结果剩下（
m+1
）（
r-1
）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（
m+1
）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到
100
者胜。

 

 

（二）威佐夫博奕（
Wythoff
Game
）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（
ak
，
bk
）（
ak
≤
bk ,k=0
，
1
，
2
，
...,n)
表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（
0
，
0
），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（
0
，
0
）、（
1
，
2
）、（
3
，
5
）、（
4
，
7
）、（
6
，
10
）、（
8
，
13
）、（
9
，
15
）、（
11
，
18
）、（
12
，
20
）。

可以看出
,a0=b0=0,ak
是未在前面出现过的最小自然数
,
而
bk= ak + k
，奇异局势有

如下三条性质：

 

1
。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于
ak
是未在前面出现过的最小自然数，所以有
ak > ak-1
，而
bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1
> ak-1
。所以性质
1
。成立。

2
。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势（
ak
，
bk
）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（
ak
，
bk
）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3
。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

 

假设面对的局势是（
a,b
），若
b = a
，则同时从两堆中取走
a
个物体，就变为了奇异局势（
0
，
0
）；如果
a = ak
，
b > bk
，那么，取走
b - bk
个物体，即变为奇异局势；如果

a = ak
，
b < bk ,
则同时从两堆中拿走
ak - ab - ak
个物体
,
变为奇异局势（
ab - ak , ab - ak+ b - ak
）；如果
a > ak
，
b= ak + k,
则从第一堆中拿走多余的数量
a - ak
即可；如果
a < ak
，
b= ak + k,
分两种情况，第一种，
a=aj
（
j < k
）
,
从第二堆里面拿走
b - bj
即可；第二种，
a=bj
（
j < k
）
,
从第二堆里面拿走
b - aj
即可。

 

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

 

那么任给一个局势（
a
，
b
），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k
（
1+
√
5
）
/2]
，
bk= ak + k
（
k=0
，
1
，
2
，
...,n
方括号表示取整函数
)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（
1+
√
5
）
/2 = 1
。
618...,
因此
,
由
ak
，
bk
组成的矩形近似为黄金矩形，由于
2/
（
1+
√
5
）
=
（√
5-1
）
/2
，可以先求出
j=[a
（√
5-1
）
/2]
，若
a=[j
（
1+
√
5
）
/2]
，那么
a = aj
，
bj = aj + j
，若不等于，那么
a = aj+1
，
bj+1 = aj+1+ j + 1
，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

 

（三）尼姆博奕（
Nimm
Game
）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

 

这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（
a
，
b
，
c
）表示某种局势，首先（
0
，
0
，
0
）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（
0
，
n
，
n
），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（
0
，
0
，
0
）。仔细分析一下，（
1
，
2
，
3
）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（
0
，
n
，
n
）的情形。

 

计算机算法里面有一种叫做按位模
2
加，也叫做异或的运算，我们用符号（
+
）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是
1+1=0
。先看（
1
，
2
，
3
）的按位模
2
加的结果：

 

1 =
二进制
01

2 =
二进制
10

3 =
二进制
11
（
+
）

———————

0 =
二进制
00
（注意不进位）

 

对于奇异局势（
0
，
n
，
n
）也一样，结果也是
0
。

 

任何奇异局势（
a
，
b
，
c
）都有
a
（
+
）
b
（
+
）
c =0
。

 

如果我们面对的是一个非奇异局势（
a
，
b
，
c
），要如何变为奇异局势呢？假设
a < b< c,
我们只要将
c
变为
a
（
+
）
b,
即可
,
因为有如下的运算结果
: a
（
+
）
b
（
+
）
(a
（
+
）
b)=(a
（
+
）
a)
（
+
）
(b
（
+
）
b)=0
（
+
）
0=0
。要将
c
变为
a
（
+
）
b
，只要从
c
中减去
c-
（
a
（
+
）
b
）即可。

 

例
1
。（
14
，
21
，
39
），
14
（
+
）
21=27
，
39-27=12
，所以从
39
中拿走
12
个物体即可达到奇异局势（
14
，
21
，
27
）。

 

例
2
。（
55
，
81
，
121
），
55
（
+
）
81=102
，
121-102=19
，所以从
121
中拿走
19
个物品就形成了奇异局势（
55
，
81
，
102
）。