Bloom Filter概念和原理

http://blog.csdn.net/jiaomeng/archive/2007/01/27/1495500.aspx

Bloom Filter概念和原理

焦萌
2007

年
1

月
27

日

Bloom Filter

是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。
Bloom Filter

的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（
false positive

）。因此，
Bloom Filter

不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，
Bloom Filter

通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看
Bloom Filter

是如何用位数组表示集合的。初始状态时，
Bloom Filter

是一个包含
m

位的位数组，每一位都置为
0

。



为了表达
S={x1
, x2
,…,xn
}

这样一个
n

个元素的集合，
Bloom Filter

使用
k

个相互独立的哈希函数（
Hash Function

），它们分别将集合中的每个元素映射到
{1,…,m}

的范围中。对任意一个元素
x

，第
i

个哈希函数映射的位置
hi
(x)

就会被置为
1

（
1

≤
i

≤
k

）。注意，如果一个位置多次被置为
1

，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，
k=3

，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。



在判断
y

是否属于这个集合时，我们对
y

应用
k

次哈希函数，如果所有
hi
(y)

的位置都是
1

（
1

≤
i

≤
k

），那么我们就认为
y

是集合中的元素，否则就认为
y

不是集合中的元素。下图中
y1

就不是集合中的元素。
y2

或者属于这个集合，或者刚好是一个
false positive

。

错误率估计

前面我们已经提到了，
Bloom Filter

在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（
false positive rate

），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设
kn<m

且各个哈希函数是完全随机的。当集合
S={x1
, x2
,…,xn
}

的所有元素都被
k

个哈希函数映射到
m

位的位数组中时，这个位数组中某一位还是
0

的概率是：



其中
1/m

表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），
(1-1/m)

表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把
S

完全映射到位数组中，需要做
kn

次哈希。某一位还是
0

意味着
kn

次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（
1-1/m

）的
kn

次方。令
p = e-kn/m

是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：



令
ρ为
位数组中
0

的比例，则
ρ的数学期望E(
ρ)=

p’

。在
ρ已知的情况下，要求的错误率（
false positive rate

）为：



(1-

ρ)
为
位数组中
1

的比例，
(1-

ρ)k

就表示
k

次哈希都刚好选中
1

的区域，即
false positive rate

。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。
p’

只是
ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。
M. Mitzenmacher

已经证明
[2]

，位数组中0
的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，
第一步的近似得以成立。分别将
p

和
p’

代入上式中，得：





相比
p’

和
f’

，使用
p

和
f

通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然
Bloom Filter

要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到
0

的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的
0

就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用
p

和
f

进行计算。注意到
f = exp(k ln(1 − e−kn/m
))

，我们令
g = k ln(1 − e−kn/m
)

，只要让
g

取到最小，
f

自然也取到最小。由于
p = e-kn/m

，我们可以将
g

写成



根据对称性法则可以很容易看出当
p = 1/2

，也就是
k = ln2· (m/n)

时，
g

取得最小值。在这种情况下，最小错误率
f

等于
(1/2)k

≈
(0.6185)m/n

。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2

对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是，
p = 1/2

时错误率最小这个结果并不依赖于近似值
p

和
f

。同样对于
f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn
))

，
g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn
)

，
p’ = (1 − 1/m)kn

，我们可以将
g’

写成



同样根据对称性法则可以得到当
p’ = 1/2

时，
g’

取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，
Bloom Filter

至少需要多少位才能表示全集中任意
n

个元素的集合。假设全集中共有
u

个元素，允许的最大错误率为
є

，下面我们来求位数组的位数
m

。

假设
X

为全集中任取
n

个元素的集合，
F(X)

是表示
X

的位数组。那么对于集合
X

中任意一个元素
x

，在
s = F(X)

中查询
x

都能得到肯定的结果，即
s

能够接受
x

。显然，由于
Bloom Filter

引入了错误，
s

能够接受的不仅仅是
X

中的元素，它还能够
є (u - n)

个
false positive

。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共
n + є (u - n)

个元素。在
n + є (u - n)

个元素中，
s

真正表示的只有其中
n

个，所以一个确定的位数组可以表示



个集合。
m

位的位数组共有
2m

个不同的组合，进而可以推出，
m

位的位数组可以表示



个集合。全集中
n

个元素的集合总共有



个，因此要让
m

位的位数组能够表示所有
n

个元素的集合，必须有



即：



上式中的近似前提是
n

和
єu

相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于
є

的情况下，
m

至少要等于
n log2
(1/є)

才能表示任意
n

个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当
k = ln2· (m/n)

时错误率
f

最小，这时
f = (1/2)k
= (1/2)mln2 / n

。现在令
f

≤
є

，可以推出



这个结果比前面我们算得的下界
n log2
(1/є)

大了
log2
e

≈
1.44

倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过
є

，
m

至少需要取到最小值的
1.44

倍。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。
Bloom Filter

在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用
Bloom Filter

判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（
False Positive

），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（
False Negative

）。在增加了错误率这个因素之后，
Bloom Filter

通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从
Burton Bloom

在
70

年代提出
Bloom Filter

之后，
Bloom Filter

就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，
Bloom Filter

在网络领域获得了新生，各种
Bloom Filter

变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，
Bloom Filter

必将获得更大的发展。