矩形边界框

原文地址:http://www.cppblog.com/lovedday/archive/2008/02/23/43122.html

矩形边界框

另一种常见的用来界定物体的几何图元是矩形边界框，矩形边界框可以是与轴对齐的或是任意方向的。轴对齐矩形边界框有一个限制，就是它的边必须垂直于坐标轴。缩写AABB常用来表示axially aligned bounding box(轴对齐矩形边界框)，OBB用来表示oriented bounding box(方向矩形边界框)。轴对齐矩形边界框不仅容易创建，而且易于使用。

一个3D的AABB就是一个简单的六面体，每一边都平行于一个坐标平面。矩形边界框不一定是立方体，它的长、宽、高可以彼此不同。在图12.10中，画出了一些简单的3D物体和它们的AABB。



　

AABB的表达方法

先介绍AABB的一些重要性质和引用这些值时所用到的记法。AABB内的点满足下列等式：

xmin ≤ x ≤ xmax

ymin ≤ y ≤ ymax

zmin ≤ z ≤ zmax

特别重要的两个点为：

pmin = [xmin ymin zmin ]

pmax = [xmax ymax zmax ]

中心点c为：

c = (pmin + pmax) /2

"尺寸向量"s是从pmin指向pmax的向量，包含了矩形边界的长、宽、高：

s = pmax - pmin

还可以求出矩形边界框的"半径向量"r，它是从中心指向pmax的向量：

r = pmax - c = s/2

明确地定义一个AABB只需要pmin、pmax、c、s、r这5个向量中的两个（除s和r不能配对外，它们中的任意两个都可配对）。在一些情况下，某些配对形式比其他的会更有用。我们建议用pmin和pmax表示一个边界框，因为实际应用中，使用它们的频率远高于c、s、r。当然，由pmin和pmax计算其余三个中的任意一个都是很容易的。

在我们的C++代码中，使用下面的类表示AABB，这是一个缩略的代码清单。

#ifndef AABB3_H
#define AABB3_H

#include "vector3.h"

class cMatrix4x3;

//---------------------------------------------------------------------------
// Implement a 3D axially aligned bounding box
//---------------------------------------------------------------------------
class cAABB3
{
public:
cVector3 min, max;

public:
// query for dimentions
cVector3 size() const { return max - min; }
float x_size() { return max.x - min.x; }
float y_size() { return max.y - min.y; }
float z_size() { return max.z - min.z; }
cVector3 center() const { return (min + max) * 0.5f; }

// fetch one of the eight corner points
cVector3 corner(int i) const;

// "Empty" the box, by setting the values to really large/small numbers.
void empty();

// add a point to the box
void add(const cVector3& p);

// add an AABB to the box
void add(const cAABB3& box);

// return true if the box is empty
bool is_empty() const;

// return true if the box contains a point
bool contains(const cVector3& p) const;

// transform the box and compute the new AABB
void set_to_transformed_box(const cAABB3& box, const cMatrix4x3& m);

// return the clostet point on this box to another point
cVector3 clostet_point_to(const cVector3& p) const;
};

#endif

计算AABB

计算一个顶点集合的AABB是非常简单的，先将最小值和最大值设为"正负无穷大"或任何比实际中用到的数都大或小得多的数。接着，遍历全部点，并扩展边界框直到它包含所有点为止。

我们在cAABB类中引入了两个辅助函数，第一个函数负责"清空"AABB：

//---------------------------------------------------------------------------
// "Empty" the box, by setting the values to really large/small numbers.
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::empty()
{
const float big_number = 1e37f;

min.x = min.y = min.z = big_number;
max.x = max.y = max.z = -big_number;
}

第二个函数将单个点"加"到AABB中，并在必要的时候扩展AABB以包含每个点：

//---------------------------------------------------------------------------
// Add a point to the box
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::add(const cVector3& p)
{
// expand the box as necessary to contain the point
if(p.x < min.x) min.x = p.x;
if(p.x > max.x) max.x = p.x;
if(p.y < min.y) min.y = p.y;
if(p.y > max.y) max.y = p.y;
if(p.z < min.z) min.z = p.z;
if(p.z > max.z) max.z = p.z;
}

现在，从一个点集创建矩形边界框，可以使用下面的代码：

Listing 12.1: Computing the AABB for a set of points

// Our list of points
const int n;
Vector3 list
;

// First, empty the box
AABB3 box;
box.empty();

// Add each point into the box
for (int i = 0 ; i < n ; ++i)
box.add(list[i]);
取得AABB的顶点：

//--------------------------------------------------------------------------------------
// Return one of the 8 corner points. The points are numbered as follows:
//
// 6 7
// ------------------------------
// /| /|
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// 2 / | 3 / |
// /----------------------------/ |
// | | | |
// | | | | +Y
// | 4 | | |
// | |-----------------|----------| |
// | / | / 5 |
// | / | / | +Z
// | / | / |
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / |/
// |/ |/ ----------------- +X
// ------------------------------
// 0 1
//
// Bit 0 selects min.x vs. max.x
// Bit 1 selects min.y vs. max.y
// Bit 2 selects min.z vs. max.z
//--------------------------------------------------------------------------------------
cVector3 cAABB3::corner(int i) const
{
assert(i >= 0 && i <= 7); // make sure index is in range

return cVector3((i & 1) ? max.x : min.x,
(i & 2) ? max.y : min.y,
(i & 4) ? max.z : min.z);
}

其他的相关函数，具体功能详见注释：

//---------------------------------------------------------------------------
// Add an AABB to the box
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::add(const cAABB3& box)
{
// expand the box as necessary
if(box.min.x < min.x) min.x = box.min.x;
if(box.min.x > max.x) max.x = box.min.x;
if(box.min.y < min.y) min.y = box.min.y;
if(box.min.y > max.y) max.y = box.min.y;
if(box.min.z < min.z) min.z = box.min.z;
if(box.min.z > max.z) max.z = box.min.z;
}

//---------------------------------------------------------------------------
// Return true if the box is empty
//---------------------------------------------------------------------------
bool cAABB3::is_empty() const
{
// check if we're inverted on any axis
return (min.x > max.x) || (min.y > max.y) || (min.z > max.z);
}

//---------------------------------------------------------------------------
// Return true if the box contains a point
//---------------------------------------------------------------------------
bool cAABB3::contains(const cVector3& p) const
{
// check for overlap on each axis
return (p.x >= min.x) && (p.x <= max.x) &&
(p.y >= min.y) && (p.y <= max.y) &&
(p.z >= min.z) && (p.z <= max.z);
}

//---------------------------------------------------------------------------
// return the closest point on this box to another point
//---------------------------------------------------------------------------
cVector3 cAABB3::clostet_point_to(const cVector3& p) const
{
// "push" p into the box, on each dimension.

cVector3 r;

if(p.x < min.x)
r.x = min.x;
else if(p.x > max.x)
r.x = max.x;
else
r.x = p.x;

if(p.y < min.y)
r.y = min.y;
else if(p.y > max.y)
r.y = max.y;
else
r.y = p.y;

if(p.z < min.z)
r.z = min.z;
else if(p.z > max.z)
r.z = max.z;
else
r.z = p.z;

return r;
}

AABB与边界球

很多情况下，AABB比边界球更适合于做定界球：

（1）计算一个点集的AABB，在编程上更容易实现，并能在较短的时间内完成。计算边界球则困难得多。

（2）对实际世界里的许多物体，AABB提供了一种"更紧凑"的边界。当然，对于某些物体，边界球更好（设想一个本身就是球形的物体）。在极端情况下，AABB的体积可能仅相当于边界球体积的1/2，大部分时候边界球的体积会比矩形框的体积大得多，比较一下电线杆的边界球和AABB就知道了。图12.11所示为不同物体的AABB与边界球的比较。



边界球的根本问题是它的形状只有一个自由度----半径，而AABB却有三个自由度----长、宽、高。因此，它可以调节这些自由度以适应不同物体。对图12.11中的大部分物体，除了右上角的星形体外，AABB都比边界球小。对这颗星，边界球也仅比AABB略小一些。通过图12.11，我们可以注意到AABB对物体的方向很敏感。比较下面两支枪的AABB，图中枪的大小都是相同的，只是方向不同而已；还应注意到在这一情况下边界球大小相同，因为边界球对物体方向不敏感。