欧几里得算法及其扩展

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最大公约数的求法中最过著名的莫过于欧几里得辗展相除法，它有两种形式（递归与非递归，其实是一样的，任何递归都可以写成非递归），下面看看它的C++代码：

/***求a,b最大公约数***/
long long gcd(long long a, long long b) {
if(b == 0)
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}

證明(摘自维基百科:zh.wikipedia.org/wiki/輾轉相除法)

設



欲證


先設







可得

且知


表示d是b,r的公因數，但


所以




可得

且知


表示e是a,b的公因數，但


所以


由

可得知



扩展的欧几里德算法是求如a * x + b * y = (a, b) 这样的整数解的，可以仿照欧几里德算法得出答案。程序如下：

/***扩展的欧几里德算法a*x + b*y = Gcd(a,b)的一组整数解，结果存在x,y中***/
void extend_gcd(long long a, long long b, long long& x, long long &y) {
if(b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return;
}
extend_gcd(b, a % b, x, y);
long long tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
}

上述程序只是得到了一组解，很显然解是不唯一的：x增加b, y减少a一定是原方程的一组解：a * (x + b) + b * (y - a) = a * x + b * y = (a, b)。

然而在应用上，往往并不是如此简单，很多时候会求解不定方程a * x + b * y = n。这个时候还是应用上面的算法：

求(a，b), 设c = (a，b)，如果! c|n，则不存在整数解。因为将上式左右两边都除以c，可以知道，左边为整数，右边为非整数，故矛盾。

将左右两边同时除以c,设得到新的方程为a' * x + b' * y = n'，应用上述算法求a' * x + b' * y = 1的解（由第一步知道(a'，b') = 1）。设结果为x', y'。

x = x' * n' , y = y' * n'是方程a * x + b * y = n。这个比较好理解，将a' * x + b' * y = 1两边同时扩大n'倍就行了。

x = x' * n' + t * b, y = y' * n' - t * a（t为整数)是原方程a * x + b * y = n的所有解。