01背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

/*测试程序*/

Code:

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define NUM 5

#define MAXWEI 10

int maxval[NUM + 1][MAXWEI + 1];

/*物品下标从1开始*/

int val[NUM + 1] = {0, 6, 3, 5, 4, 6};

int wei[NUM + 1] = {0, 2, 2, 6, 5, 4};

int Max(int a, int b)

{

if(a > b)

return a;

return b;

}

int MaxVal()

{

int i, j;

int k;

for(i = 1; i <= NUM; i++)

{

for(j = 0; j <= MAXWEI; j++)

{

k = j - wei[i];

if(k > 0)

{

maxval[i][j] = Max(maxval[i - 1][j], maxval[i - 1][j - wei[i]] + val[i]);

}

else

{

maxval[i][j] = maxval[i - 1][j];

}

}

}

return maxval[NUM][MAXWEI];

}

int main(void)

{

int i, j;

int mv;

for(i = 0; i <= NUM; i++)

{

for(j = 0; j <= MAXWEI; j++)

{

maxval[i][j] = 0;

}

}

mv = MaxVal();

printf("%d/n", mv);

return 0;

}