并查集及其应用

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并查集的学习告一段落，整理总结一下与大家共勉~

        并查集：(union-find sets)是一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数、最小公共祖先、带限制的作业排序，还有最完美的应用：实现Kruskar算法求最小生成树。其实，这一部分《算法导论》讲的很精炼。

       一般采取树形结构来存储并查集，在合并操作时可以利用树的节点数(加权规则)或者利用一个rank数组来存储集合的深度下界--启发式函数，在查找操作时进行路径压缩使后续的查找操作加速。这样优化实现的并查集，空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。
它支持以下三种操作:
　　－Union (Root1, Root2) //合并操作；把子集合Root2和子集合Root1合并.要求：Root1和 Root2互不相交,否则不执行操作.
　　－Find (x) //搜索操作；搜索元素x所在的集合,并返回该集合的名字--根节点.
　　－UFSets (s) //构造函数。将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合.
　　－对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。
　　－集合中每个元素的元素名分别存放在树的结点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其双亲结点的指针。  
       －为简化讨论，忽略实际的集合名，仅用表示集合的树的根来标识集合。

以下给出我的两种实现:

//Abstract: UFSet                 
//Author:Lifeng Wang （Fandywang）
// Model One 与Model 2 路径压缩方式不同,合并标准不同
const int MAXSIZE = 500010;
int rank[MAXSIZE];    // 节点高度的上界
int parent[MAXSIZE]; // 根节点
int FindSet(int x){// 查找+递归的路径压缩
    if( x != parent[x] ) parent[x] = FindSet(parent[x]);
     return parent[x];
}
void Union(int root1, int root2){
     int x = FindSet(root1), y = FindSet(root2);
     if( x == y ) return ;
     if( rank[x] > rank[y] ) parent[y] = x;
     else{
         parent[x] = y;
         if( rank[x] == rank[y] ) ++rank[y];
     }
}
void Initi(void){
     memset(rank, 0, sizeof(rank));
     for( int i=0; i < MAXSIZE; ++i ) parent[i] = i;
}
// Model Two
const int MAXSIZE = 30001;
int pre[MAXSIZE]; //根节点i,pre[i] = -num,其中num是该树的节点数目;
                   //非根节点j,pre[j] = k,其中k是j的父节点
int Find(int x){//查找+非递归的路径压缩
     int p = x;
     while( pre[p] > 0 )    p = pre[p];
     while( x != p ){
         int temp = pre[x]; pre[x] = p; x = temp;
     }
     return x;
}
void Union(int r1, int r2){
     int a = Find(r1); int b = Find(r2);
     if( a == b ) return ;
     //加权规则合并
     if( pre[a] < pre[b] ){
         pre[a] += pre[b]; pre[b] = a;
     }
     else {
         pre[b] += pre[a]; pre[a] = b;
     }
}
void Initi(void)
{
    for( int i=0; i < N; ++i ) pre[i] = -1;
}