扩展欧几里德算法

前面大部分摘自百度百科，最后补充了一个解模线性方程的模板

 
欧几里德算法


欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数
a,b
的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

其算法用
C++
语言描述为：

int
Gcd(int
a, int
b)//返回值可能是负数，有时候需要取相反数

{

　　if
(b == 0)

　　return
a;

　　return
Gcd(b, a % b);

}

//
当然你也可以写成迭代形式：

int
Gcd(int
a, int
b)

{

    
while
(b != 0)

    
{

        
int
r = b;

        
b = a % b;

        
a = r;

    
}

    
return
a;

}

 

扩展欧几里德算法


根据数论中的相关定理，对于任意整数
a,b,
一定存在整数
x,y
，使得
ax+by=gcd(a,b)
，并且
gcd(a,b)
是整数
a,b
线性表示中的最小正数。

扩展欧几里德算法就是给定
a,b
，在返回
gcd(a,b)
的同时，解出
x,y
。

int  exGcd(int  a, int b, int  &x, int &y)
{
if (b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}

 

把这个实现和
Gcd
的递归实现相比，发现多了下面的
x,y
赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考
:

对于
a' = b, b' = a % b
而言，我们求得
x, y
使得
a'x + b'y = Gcd(a', b')

由于
b' = a % b = a - a / b * b (
注：这里的
/
是程序设计语言中的除法
)

那么可以得到
:

a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

因此对于
a
和
b
而言，他们的相对应的
p
，
q
分别是
y
和
(x-a/b*y)

 

求解模线性方程


ax=b(mod n)(a,b<n)===>ax-ny=b

于是可以套用上面的扩展欧几里德算法来解
x,y
。若
b%gcd(a,n)!=0,
则说明方程无解。有解的情况下，对于
(0<=x<n)
，解的个数为
gcd(a,n)
。

void  linear_equation_solver(int a,int  b,int  n)//解方程ax=b(mod n) //必须保证n是正数
{
int x,y,d;
a%=n;
b%=n;
if(a<0) a+=n;
if(b<0) b+=n;
d=exGcd(a,n,x,y);
if (b%d) printf("no solution!/n" );
else
{
x=(x*b/d)%n;
if (x<0) x+=n;
for (int i=0;i<d;i++)
{
printf("%d/n" ,(x+i*(n/d))%n);
}
}
}