约瑟夫环问题
2009-07-18 17:11
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问题描述：n个人（编号从1到n），从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数。求胜利者的编号。
C语言指针版本
1: #include <stdio.h>
2: #include <stdlib.h>
3:
4: int main()
5: {6: int n,m;
7: printf("请输入n和m的值:");8: scanf("%d %d",&n,&m);9:
10: int *number = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
11: int temp;
12: for(temp=0 ; temp<n ; ++temp)
13: {14: *(number+temp) = 0; //0代表没没出列,1代表出列
15: }
16:
17: printf("依次出列的号码为：");18: int count;
19: for(count=0,temp=0 ; count<n ; ++count,temp = (temp+1)%n)
20: {21: for(int i=0 ; i<m ;temp = (temp+1)%n)
22: {23: if(*(number+temp) == 1)
24: {25: continue;
26: }
27: if( (i+1)== m )
28: {29: *(number+temp) = 1;
30: break;
31: }
32: ++i;
33: }
34: printf("%d\t",temp+1);35: if(count == n-1)
36: {37: printf("\n胜利者的编号为：%d\n",temp+1);38: }
39: }
40:
41: return 0;
42: }
43:
C++的循环链表版本
（注：CircList.h头文件事先已经写好，是循环链表）
1: #include "CircList.h"
2:
3:template<class T>
4: void Josephus(CircList<T> &Js,int n,int m) //n---总数，m---目标数
5: {6: CircLinkNode<T> *p = Js.GetHead()->link,*pre = NULL;
7: for (int i = 0;i < n-1;++i) //执行n-1次
8: {9: for (int j = 1;j < m;++j) //数m个人
10: {11: pre = p;
12: p = p->link;
13: if(p == Js.GetHead())
14: {15: p = p->link;
16: pre = pre->link;
17: }
18: }
19: cout<<"出列的人是:"<<p->data<<endl;
20: pre->link = p->link;
21: delete p;
22: p = pre->link;
23: if(p == Js.GetHead())
24: {25: p = p->link;
26: pre = pre->link;
27: }
28: }
29: }
30:
31: void main()
32: {33: CircList<int> clist;
34: int n,m;
35: cout<<"输入游戏者人数和报数间隔：";
36: cin>>n>>m;
37: for(int i = 1;i <= n;++i)
38: clist.Insert(i-1,i);
39: Josephus(clist,n,m);
40: }
41:
约瑟夫问题的数学方法（以下内容为网上转载）
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1: #include <stdio.h>
2:
3:int main()
4: {5: int n, m, i, s=0;
6: printf ("请输入n和m的值：");7: scanf("%d %d", &n, &m);8: for (i=2; i<=n; i++)
9: s=(s+m)%i;
10: printf ("The winner is %d\n", s+1);11: return 0;
12: }
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