快速傅立叶变换（FFT）的C++实现

标准的离散傅立叶 DFT 变换形式如：

yk=Σj=0n-1 ajωn-kj = A (ωn-k).

（ωnk 为复数 1 的第 k 个 n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ）

而离散傅立叶逆变换 IDFT (Inverse DFT)形式如： aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n .

以下不同颜色内容为引用并加以修正：

快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设 Xn 为 N 项的复数序列，由 DFT 变换，任一 Xi 的计算都需要 N 次复数乘法和 N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出 N 项复数序列的 Xi ，即 N 点 DFT 变换大约就需要 N2 次运算。当 N =1024 点甚至更多的时候，需要 N2 = 1048576 次运算，在 FFT 中，利用 ωn 的周期性和对称性，把一个 N 项序列（设 N 为偶数），分为两个 N / 2 项的子序列，每个 N / 2点 DFT 变换需要 (N / 2)2 次运算，再用 N 次运算把两个 N / 2点的 DFT 变换组合成一个 N 点的 DFT 变换。这样变换以后，总的运算次数就变成 N + 2 * (N / 2)2 = N + N2 / 2。继续上面的例子，N =1024 时，总的运算次数就变成了525312 次，节省了大约 50% 的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的 DFT 运算单元，那么N 点的 DFT 变换就只需要 N * log2N 次的运算，N = 1024 点时，运算量仅有 10240 次，是先前的直接算法的1% ，点数越多，运算量的节约就越大，这就是 FFT 的优越性。

FFT 的实现可以自顶而下，采用递归，但是对于硬件实现成本高，对于软件实现都不够高效，改用迭代较好，自底而上地解决问题。感觉和归并排序的迭代版很类似，不过先要采用“位反转置换”的方法把 Xi 放到合适的位置，设 i 和 j 互为s = log2N 位二进制的回文数，假设 s = 3, i = (110)2 = 6, j = (011)2 = 3, 如果 i ≠ j , 那么 Xi 和 Xj 应该互换位置。（关于这个回文数的生成，是很有趣而且是很基本的操作，想当初偶初学 C++ 的时候就有这样的习题。）当“位反转置换”完成后，先将每一个Xi 看作是独立的多项式，然后两个两个地将它们合并成一个多项式（每个多项式有 2 项），合并实际上是“蝶形运算”（Butterfly Operation, 参考《算法导论》吧^_^），继续合并（第二次的每个多项式有 4 项），直到只剩下一个多项式（有 N 项），这样，合并的层数就是 log2N ，每层都有 N 次操作，所以总共有 N * log2N 次操作。迭代过程如下图所示，自底而上。



C++ 源程序，如下：

//
// 快速傅立叶变换 Fast Fourier Transform
// By rappizit@yahoo.com.cn
// 2007-07-20
// 版本 2.0
// 改进了《算法导论》的算法，旋转因子取 ωn-kj (ωnkj 的共轭复数)
// 且只计算 n / 2 次，而未改进前需要计算 (n * lg n) / 2 次。
//

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

const int N = 1024;
const float PI = 3.1416;

inline void swap (float &a, float &b)
{
float t;
t = a;
a = b;
b = t;
}

void bitrp (float xreal [], float ximag [], int n)
{
// 位反转置换 Bit-reversal Permutation
int i, j, a, b, p;

for (i = 1, p = 0; i < n; i *= 2)
{
p ++;
}
for (i = 0; i < n; i ++)
{
a = i;
b = 0;
for (j = 0; j < p; j ++)
{
b = (b << 1) + (a & 1); // b = b * 2 + a % 2;
a >>= 1; // a = a / 2;
}
if ( b > i)
{
swap (xreal [i], xreal [b]);
swap (ximag [i], ximag [b]);
}
}
}

void FFT(float xreal [], float ximag [], int n)
{
// 快速傅立叶变换，将复数 x 变换后仍保存在 x 中，xreal, ximag 分别是 x 的实部和虚部
float wreal [N / 2], wimag [N / 2], treal, timag, ureal, uimag, arg;
int m, k, j, t, index1, index2;

bitrp (xreal, ximag, n);

// 计算 1 的前 n / 2 个 n 次方根的共轭复数 W'j = wreal [j] + i * wimag [j] , j = 0, 1, , n / 2 - 1
arg = - 2 * PI / n;
treal = cos (arg);
timag = sin (arg);
wreal [0] = 1.0;
wimag [0] = 0.0;
for (j = 1; j < n / 2; j ++)
{
wreal [j] = wreal [j - 1] * treal - wimag [j - 1] * timag;
wimag [j] = wreal [j - 1] * timag + wimag [j - 1] * treal;
}

for (m = 2; m <= n; m *= 2)
{
for (k = 0; k < n; k += m)
{
for (j = 0; j < m / 2; j ++)
{
index1 = k + j;
index2 = index1 + m / 2;
t = n * j / m; // 旋转因子 w 的实部在 wreal [] 中的下标为 t
treal = wreal [t] * xreal [index2] - wimag [t] * ximag [index2];
timag = wreal [t] * ximag [index2] + wimag [t] * xreal [index2];
ureal = xreal [index1];
uimag = ximag [index1];
xreal [index1] = ureal + treal;
ximag [index1] = uimag + timag;
xreal [index2] = ureal - treal;
ximag [index2] = uimag - timag;
}
}
}
}

void IFFT (float xreal [], float ximag [], int n)
{
// 快速傅立叶逆变换
float wreal [N / 2], wimag [N / 2], treal, timag, ureal, uimag, arg;
int m, k, j, t, index1, index2;

bitrp (xreal, ximag, n);

// 计算 1 的前 n / 2 个 n 次方根 Wj = wreal [j] + i * wimag [j] , j = 0, 1, , n / 2 - 1
arg = 2 * PI / n;
treal = cos (arg);
timag = sin (arg);
wreal [0] = 1.0;
wimag [0] = 0.0;
for (j = 1; j < n / 2; j ++)
{
wreal [j] = wreal [j - 1] * treal - wimag [j - 1] * timag;
wimag [j] = wreal [j - 1] * timag + wimag [j - 1] * treal;
}

for (m = 2; m <= n; m *= 2)
{
for (k = 0; k < n; k += m)
{
for (j = 0; j < m / 2; j ++)
{
index1 = k + j;
index2 = index1 + m / 2;
t = n * j / m; // 旋转因子 w 的实部在 wreal [] 中的下标为 t
treal = wreal [t] * xreal [index2] - wimag [t] * ximag [index2];
timag = wreal [t] * ximag [index2] + wimag [t] * xreal [index2];
ureal = xreal [index1];
uimag = ximag [index1];
xreal [index1] = ureal + treal;
ximag [index1] = uimag + timag;
xreal [index2] = ureal - treal;
ximag [index2] = uimag - timag;
}
}
}

for (j=0; j < n; j ++)
{
xreal [j] /= n;
ximag [j] /= n;
}
}

void FFT_test ()
{
char inputfile [] = "input.txt"; // 从文件 input.txt 中读入原始数据
char outputfile [] = "output.txt"; // 将结果输出到文件 output.txt 中
float xreal
= {}, ximag
= {};
int n, i;
FILE *input, *output;

if (!(input = fopen (inputfile, "r")))
{
printf ("Cannot open file. ");
exit (1);
}
if (!(output = fopen (outputfile, "w")))
{
printf ("Cannot open file. ");
exit (1);
}

i = 0;
while ((fscanf (input, "%f%f", xreal + i, ximag + i)) != EOF)
{
i ++;
}
n = i; // 要求 n 为 2 的整数幂
while (i > 1)
{
if (i % 2)
{
fprintf (output, "%d is not a power of 2! ", n);
exit (1);
}
i /= 2;
}

FFT (xreal, ximag, n);
fprintf (output, "FFT: i real imag ");
for (i = 0; i < n; i ++)
{
fprintf (output, "%4d %8.4f %8.4f ", i, xreal [i], ximag [i]);
}
fprintf (output, "================================= ");

IFFT (xreal, ximag, n);
fprintf (output, "IFFT: i real imag ");
for (i = 0; i < n; i ++)
{
fprintf (output, "%4d %8.4f %8.4f ", i, xreal [i], ximag [i]);
}

if ( fclose (input))
{
printf ("File close error. ");
exit (1);
}
if ( fclose (output))
{
printf ("File close error. ");
exit (1);
}
}

int main ()
{
FFT_test ();

return 0;
}

////////////////////////////////////////////////
// sample: input.txt
////////////////////////////////////////////////

0.5751 0
0.4514 0
0.0439 0
0.0272 0
0.3127 0
0.0129 0
0.3840 0
0.6831 0
0.0928 0
0.0353 0
0.6124 0
0.6085 0
0.0158 0
0.0164 0
0.1901 0
0.5869 0

////////////////////////////////////////////////
// sample: output.txt
////////////////////////////////////////////////
FFT:
i real imag
0 4.6485 0.0000
1 0.0176 0.3122
2 1.1114 0.0429
3 1.6776 -0.1353
4 -0.2340 1.3897
5 0.3652 -1.2589
6 -0.4325 0.2073
7 -0.1312 0.3763
8 -0.1949 0.0000
9 -0.1312 -0.3763
10 -0.4326 -0.2073
11 0.3652 1.2589
12 -0.2340 -1.3897
13 1.6776 0.1353
14 1.1113 -0.0429
15 0.0176 -0.3122
=================================
IFFT:
i real imag
0 0.5751 -0.0000
1 0.4514 0.0000
2 0.0439 -0.0000
3 0.0272 -0.0000
4 0.3127 -0.0000
5 0.0129 -0.0000
6 0.3840 -0.0000
7 0.6831 0.0000
8 0.0928 0.0000
9 0.0353 -0.0000
10 0.6124 0.0000
11 0.6085 0.0000
12 0.0158 0.0000
13 0.0164 0.0000
14 0.1901 0.0000
15 0.5869 -0.0000

**************************************************/