数据结构——对图中重连通分量输出的释疑

关于图的关节点及重连通分量的一些概念，此处不再冗述，不理解的可以阅读相关资料：

http://www.cnblogs.com/bless/archive/2008/09/28/1256875.html

此处着重讲到，在算法DfnLow增加一些语句, 可把连通图的边划分到各重连通分量中。

上文中求重连通分量的代码如下：

void Graph::Biconnected ( ) { //公有函数：从顶点0开始深度优先搜索

int num = 1; //访问计数器num
　dfn = new int[NumVertices]; //dfn是深度优先数
　low = new int[NumVertices]; //low是最小祖先号
　for ( int i = 0; i < NumVertices; i++ ) {
dfn[i] = low[i] = 0;
}

DfnLow ( 0, -1 ); //从顶点 0 开始
　delete [ ] dfn;
delete [ ] low;

}

void Graph::Biconnected ( const int u, const int v ) {
//私有函数：计算dfn与low, 根据其重连通分量输出Graph的边。
//在产生的生成树中, v 是 u 的双亲结点, S 是一个初始为空的栈，
//应声明为图的数据成员。

int x, y, w;
dfn[u] = low[u] = num++;
w = GetFirstNeighbor (u); //找顶点u的第一个邻接顶点w
while ( w != - 1 ) {
if ( v != w && dfn[w] < dfn[u] )
S.Push ( (u,w) ); //w不是u的双亲且w先于u被访问, (u,w)进栈
　　 if ( dfn[w] == 0 ) { //未访问过, w是u的孩子
　　　 Biconnected (w, u); //从w递归深度优先访问
　　　 low[u] = min2 ( low[u], low[w] ); //根据先求出的low[w], 调整low[u]
　　　 if ( low[w] >= dfn[u] ) { //无回边, 原来的重连通分量结束
　　　　 cout << “新重连通分量: ” << endl;
do {
(x, y) = S.Pop ( );
cout << x << "," << y << endl;
} while ( (x, y) 与 (u, w) 不是同一条边 );
} 　//输出该重连通分量的各边
　　 } else if ( w != v ) //有回边,计算

low[u] = min2 ( low[u], dfn[w] ); //根据回边另一顶点w调整low[u]
　　 w = GetNextNeighbor (u, w); //找顶点u的邻接顶点w的下一个邻接顶点

}

}

文中提到，如果不是根的话，u成为关节点的充要条件就是至少有一个子女w low[w]>=dfn[u],而low的求解又与其所有子女的low相关，所以，此处基本策略是递归，父节点的low的值随着所有子女的low值做调整。

上述有求重连通分量的这么一段话：

if ( low[w] >= dfn[u] ) { //无回边, 原来的重连通分量结束
　　　　cout << “新重连通分量: ” << endl;
do {
(x, y) = S.Pop ( );
cout << x << "," << y << endl;
} while ( (x, y) 与 (u, w) 不是同一条边 );
}//输出该重连通分量的各边

这段话表明目前来说，u是关节点了，下面就把所有w下面的边都输出来，直到把(u,w)也输出来，这个构成 一个重连通分量。

这些边是什么时候被压入栈的呢？

if ( v != w && dfn[w] < dfn[u] )
S.Push ( (u,w) ); //w不是u的双亲且w先于u被访问, (u,w)进栈

这句话的判断条件一开始一直没怎么理解，后来才明白，其实这句话把所有的边都保存了，判断条件只是为了防止保存重复的边。

首先来看 v!=w，其实作为u的父亲，v其实也是u的邻居之一，但是(v,u)已经存在了，所以，没有必要把（u,v）也放进去。（对于无向图来说，两者其实一回事）。

其次再来看dfn[w]<dfn[u],

一种情况是w还未被访问过，则dfn[w]肯定等于0，成立。至于注释写到“//w不是u的双亲且w先于u被访问, (u,w)进栈 “，我估计是因为求low值都是先求子女，再求父亲，所以说是w先于u被访问，

这个判断的另外一层意思，很可能w是u的某个子孙q的子女，这样，（w,u）肯定已经作为回边被保存过了，这里dfn[w]>dfn[u],就不再需要保存了。