最大公约数算法
2009-07-06 20:17
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1、欧几里德算法和扩展欧几里德算法 欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证 欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为: void swap(int & a, int & b) { int c = a; a = b; b = c; } int gcd(int a,int b) { if(0 == a ) { return b; } if( 0 == b) { return a; } if(a > b) { swap(a,b); } int c; for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b) { a = b; b = c; } return b; } ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- #include <iostream.h> int GCD(int x,int y){ if(x%y==0) return y; return GCD(y,x%y); } int main(){ int x,y; cin>>x>>y; cout<<GCD(x,y); return 0; } 2、Stein算法 欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。 考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。 为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论: gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身 gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除 C++/java 实现 // c++/java stein 算法 int gcd(int a,int b){ if(a<b)//arrange so that a>b{ int temp = a; a = b; b=temp; } if(0==b)//the base case return a; if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even return 2*gcd(a/2,b/2); if ( a%2 == 0)// only a is even return gcd(a/2,b); if ( b%2==0 )// only b is even return gcd(a,b/2); return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd |
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