[zz]鸽笼原理的延伸：为什么7/23一定可化为循环小数？

[zz]鸽笼原理的延伸：为什么7/23一定可化为循环小数？

计算7÷23=0.30434782…，表面看起来似乎无止尽，但是最后却必定循环，为什么呢？

这个考题曾经被当做大学保送入学口试题目，许多菁英学生当场被问倒。

使用鸽笼原理，很容易就可以解释。说明如下：

在笔算7÷23的过程中，所得的余数绝对不可能大于22，也就是余数只能为0,1,2,3,4,…,21,22等任何一个整数。这是小学生就懂的。

那我们辛苦一点，就拿着笔除个24次吧!

余数只有23种可能，我们用直式除了24次，过程就会产生24个余数。24个余数却只有23种可能数字，依据「鸽笼原理」可确定其中至少有一个数字会重复。

当余数重复时，所得的小数就会开始循环了。

相同道理，除数为3，就给他除4次，也就是答案最多到小数点后三位以内必定开始循环，事实证明在小数点后第一位就开始循环了。除数为7，就给他除8次，也就是最多到小数点后七位以内必定开始循环，事实证明在小数点后第七位开始循环。