整数划分问题

整数划分问题

将正整数
n
表示成一系列正整数之和，
n=n1+n2+…+nk,
其中
n1>=n2>=…>=nk>=1
，
k>=1
。

正整数
n
的这种表示称为正整数
n
的划分。正整数
n
的不同的划分个数称为正整数
n
的划分数，记作
p(n)
。

例如正整数
6
有如下
11
种不同的划分，所以
p(6)=11
。

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1.

在正整数
n
所有不同的划分中，将最大加数
n1
不大于
m
的划分个数记作
q(n,m)
，称它为属于
n
的一个
m
划分。根据
n
和
m
的关系，考虑以下几种情况：

（
1
）当
n=1
时，不论
m
的值为多少（
m>0)
，只有一种划分即
{1};

(2)
当
m=1
时，不论
n
的值为多少，只有一种划分即
n
个
1
，
{1,1,1,...,1};

(3)
当
n=m
时，根据划分中是否包含
n
，可以分为两种情况：

(a).
划分中包含
n
的情况，只有一个即
{n}
；

(b).
划分中不包含
n
的情况，这时划分中最大的数字也一定比
n
小，即
n
的所有
(n-1)
划分。

因此
q(n,n) =1 +
q(n,n-1);

(4)
当
n<m
时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于
q(n,n);

(5)
但
n>m
时，根据划分中是否包含最大值
m
，可以分为两种情况：

(a).
划分中包含
m
的情况，即
{m, {x1,x2,...xi}},
其中
{x1,x2,... xi}
的和为
n-m
，可能再次出现
m
，因此是（
n-m
）的
m
划分，因此这种划分个数为
q(n-m, m);

(b).
划分中不包含
m
的情况，则划分中所有值都比
m
小，即
n
的
(m-1)
划分，个数为
q(n,m-1);

因此
q(n, m) = q(n-m,
m)+q(n,m-1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（
1
）和（
2
）属于边界条件，（
3
）和（
4
）属于特殊情况，将会转换为情况（
5
）。而情况
（
5
）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小
m
以达到边界条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

0
n<1
或
m<1

1
n=1
或
m=1

q(n,m)
=
q(n,n)
n<m

1+q(n,n-1)
n=m

q(n,m-1)+q(n-m,m)
n>m>1

据此，可设计计算
q(n,m)
的递归算法如下。其中，正整数
n
的划分数
P(n)=q(n,n)
。

int Part(int n, int m)

{

if ((n < 1)||(m < 1))

return 0;

if ((n == 1)||(m == 1))

return 1;

if (n < m)

return Part(n, n);

if (n == m)

return Part(n, m-1) + 1;

return Part(n, m-1) + Part(n-m, m);

}

参考文献：

《
整数划分问题

》
hoodlum1980 (
發發
)
的技术博客
http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html