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算法:最大公约数

2009-06-04 15:03 155 查看
使用辗转相除法即迭代算法。

1、欧几里德算法和扩展欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace ExMaxGongYueShu

{
class MaxGongYueShu
{
public float maxGongYueShu(int n1,int n2)
{
int temp = Math.Max(n1, n2);
n2 = Math.Min(n1, n2);//n2中存放两个数中最小的
n1 = temp;//n1中存放两个数中最大的
while(n2!=0)
{
n1 = n1 > n2 ? n1 : n2;//使n1中的数大于n2中的数
int m=n1 % n2;
n1 = n2;
n2 = m;
}

return n1;
}
static void Main(string[] args)
{
int n1=Convert.ToInt32 (Console.ReadLine());
int n2 = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
if (n1 * n2 != 0)
{
MaxGongYueShu m = new MaxGongYueShu();
Console.WriteLine(m.maxGongYueShu(n1, n2));
}
else
{
Console.WriteLine("这两个数不能为0。");
}
}
}

}

2、Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:

gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除

C++/java 实现
// c++/java stein 算法
int gcd(int a,int b){
if(a<b)//arrange so that a>b{
int temp = a;
a = b;
b=temp;
}
if(0==b)//the base case
return a;
if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even
return 2*gcd(a/2,b/2);
if ( a%2 == 0)// only a is even
return gcd(a/2,b);
if ( b%2==0 )// only b is even
return gcd(a,b/2);

return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd

}
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