并查集及其应用

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并查集的学习告一段落，整理总结一下与大家共勉~

并查集：(
union-find
sets)是一种简单的用途广泛的集合.
并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数、最小公共祖先、带限制的作业排序，还有
最完美的应用：实现Kruskar算法求最小生成树。其实，这一部分《算法导论》讲的很精炼。

一般采取树形结构来存储并查集，在合并操作时可以利用
树的节点数(加权规则)或者利用一个rank数组来存储集合的深度下界--启发式函数，在查找操作时进行路径压缩使后续的查找操作加速。
这
样优化实现的并查集，空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M
Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是
线性的。

它支持以下三种操作:

　　－Union (Root1, Root2)
//合并操作；把子集合Root2和子集合Root1合并.要求：Root1和 Root2互不相交,否则不执行操作.

　　－Find (x)
//搜索操作；搜索元素x所在的集合,并返回该集合的名字--根节点.

　　－UFSets (s)
//构造函数。将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合.

　　－对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。

　　－集合中每个
元素的元素名分别存放在树的结点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其双亲结点的指针。

－为简化讨论，忽略实际的集合名，仅用表示集合的树的根来标识集合。

以下给出我的两种实现:

//Abstract:
UFSet

//Author:Lifeng
Wang
（Fandywang
）

// Model One
与Model 2
路径压缩方式不同,
合
并标准不同

const
int
MAXSIZE =
500010;

int

rank[MAXSIZE];
//

节点高度的上界

int

parent[MAXSIZE];
//

根节点

int
FindSet(int

x){//

查找+
递归的路径压缩

if
( x != parent[x] ) parent[x] =
FindSet(parent[x]);

return
parent[x];

}

void
Union(int

root1, int
root2){

int
x = FindSet(root1), y = FindSet(root2);

if
( x == y ) return
;

if
( rank[x] > rank[y] ) parent[y] = x;

else
{

parent[x]
= y;

if
( rank[x] == rank[y] ) ++rank[y];

}

}

void
Initi(void
){

memset(rank,
0, sizeof
(rank));

for
( int

i=0; i < MAXSIZE; ++i ) parent[i] = i;

}

// Model Two

const
int
MAXSIZE =
30001;

int

pre[MAXSIZE]; //

根节点i,pre[i] = -num,
其中num
是该树的节点数
目;

//

非根节点j,pre[j] = k,
其中k
是j
的
父节点

int
Find(int
x){//

查找+
非递归的路径压缩

int

p = x;

while
( pre[p] > 0 )
p
= pre[p];

while
( x != p ){

int

temp = pre[x];
pre[x] = p; x = temp;

}

return
x;

}

void
Union(int

r1, int
r2){

int

a = Find(r1); int

b = Find(r2);

if
( a == b ) return
;

//

加权规则合并

if
( pre[a] < pre[b] ){

pre[a]
+= pre[b]; pre[b] = a;

}

else
{

pre[b]
+= pre[a]; pre[a] = b;

}

}

void
Initi(void
)

{

for(
int i=0; i < N; ++i ) pre[i] = -1;

}