Wu-Manber 经典多模式匹配算法

多模式匹配的用法，多了去了！DB中对selected patterns进行数挖；安全中对suspicious keyword进行匹配；各种日期形式2009-5-20，2009年5月20日，May,20的搜索；DNA配对；各种replace功能；等等，太口水了枚举这个。
Wu-Manber基于BM算法思想，如果您佬BM还没OK，请参照我的BM日志搞搞清楚先。
提到Wu-Manber，其实就是SHIFT、HASH、PREFIX三张表，预处理patterns先把这三张表填好，搜的过程忒简单。

1. 拿表说事儿：表干嘛用的

先有个大概印象：SHIFT[]就一跳转表，一张记录向右滑动距离的表。当SHIFT[i]=0时，说明那么多patterns肯定有匹配上的，这时HASH[]和PREFIX[]就要站出来指明谁暂时匹配上了，并对它们通通匹配一番。

2. 预处理这一堆patterns：填上三表

这堆patterns长度不一，m=最小长度，该算法也就只检测每pat前m个字符了（那剩余的怎么办呢？o还没想明白）。Patterns长度基本相当最好，假如有一pat掉链子，特短（长度为2），那么每次滑动距离最多也就才2，还滑个什么劲儿呀。所以各pat长度要统一要和谐。
我们把text切成长度为B的块（一般2或3），B怎么算呢？假如有k个pat，那么各pat总长M=k*m，|∑|为c，那么B=logc(2M)。既然这样，那SHIFT滑动距离就不由末尾单个字符而由末尾B个字符而定了。如果这B个字符跟所有pat都没匹配上，那么很自然小指针可以后滑m-B+1。为什么是m-B+1呢？



如上图示，虽然XAB不出现在pat末，但它的后缀AB是pat前缀，如果你索性移m=5，那么就错过一个匹配了。其实如果B块不出现在pat末，那么至多它的B-1后缀可能出现在pat前缀，因此，安全的移动距离为m-(B-1)=m-B+1。这其实是相对保守的策略，最后我们会提出改进算法。

2.1 SHIFT[]

开SHIFT[]表大小为|∑| B，因为要组建长度为B的str，其中每个字符均有|∑|种选择。通过hash function，每个str计算得到一个值index而住进SHIFT。我们现在扫描text的X=x1…xB, hashFunc(X)=h，那应该滑动多少呢？
如果X跟各pat都没匹配上，那么SHIFT[h]=m-B+1。如果X跟其中某些pat匹配上，那么SHIFT[h]=m-q，其中q是X出现在最右的pat中（假如patj）的xB位置，显然它是最小滑动距离。其实，不用等到实际考查text时再计算SHIFT，我们预处理各pat就可以把SHIFT表填上。对于每个pat，计算其每个长度为B的subpat(aj-B+1…aj)的值，SHIFT[hashFun(subpat)]=min{m-B+1,m-j}。
哈哈，于是乎SHIFT[]里记录了text能安全滑过的最大距离，滑的越大当然越快，但是滑的小一点倒也没错。根据这一点，我们可以压缩SHIFT表，把不同的subpat压缩进一个entry，只要值留最小的那个就OK了。（在agrep这个Wu-Manber算法的应用中，B=2时用的原始SHIFT表，B=3时用的压缩SHIFT表）。

2.2 HASH[]

只要SHIFT[]>0，那尽管滑text就好了（100个pat的应用中，5%遇到0，1000个时候27%，10000个时候53%）。如果=0，总不至于去跟所有pat一一比对看谁暂时匹配上了吧？o们文明人要用更懒更聪明的方式，去快速锁定那些暂时匹配上的pat们。怎么做呢？HASH！
HASH[i]存放一个指向链表的指针，链表存着这样的pat（末B位通过hash function计算是i）。HASH[]表大小同SHIFT，但相对就稀疏多了，人那儿存着所有可能的组合的SHIFT值。哎，牺牲空间换时间，时空一向两难全。
记现正扫描的text的末B位的哈希值为h。同时引入PAT_POINT（指向实际patterns存储位置的指针链表），该链表按patterns末B位的哈希值排序，那么HASH[h]的值是p（p指向PAT_POINT中哈希值为h的第一个结点处），此时相当于找到第一个跟text末B位匹配上的pat，那么进行匹配，如果匹配不上就继续p++，一直到HASH[h+1]指向的那处地址截止。以上是SHIFT[h]=0的情况。对于SHIFT[h]≠0,那么HASH[h]=HASH[h+1]，因为没哪个pat的末B位能匹配上，自然这两个HASH值应该相等（开始就是结束）。这样，就填好整张HASH[]表了。

2.3 PREFIX[]

如果只有HASH[]表，就囧大了。例如自然语言text中以ing，ion结尾的单词非常多，pat中出现ing/ion结尾的也非常多，如果按HASH[]的方法，那就得HASH[h]~HASH[h+1]的pat一个个匹配。能不能更快些呢？引入PREFIX[]。
对每一个pat，除了记录其末B位字符的哈希值（PAT_POINT），我们还要记录其首B’位字符的哈希值（PREFIX），一般取B’=2。这是一种有效的过滤手段，因为既末B位相同前B’位也相同的pat很少，这样就没那么多pat需要去匹配了（不像上面那种要一一匹对）。但是也需要权衡啦，因为你计算PREFIX哈希值需要时间，存储它需要空间，换回“一一匹配”的时间，不知划不划算。

3. 匹配过程

Step1. 现正扫描的text的末B位tm-B+1…tm通过hash function计算其哈希值h。
Step2. 查表，SHIFT[h]>0，text小指针后滑SHIFT[h]位，执行1；SHIFT[h]=0，执行3；
Step3. 计算此m位text的前缀的哈希值，记为text_prefix；
Step4. 对于每个p（HASH[h]≦p<HASH[h+1]）看是否PREFIX[p]=text_prefix。如果相等，方才让真正的pat（即PAT_POINT[p]）去和text匹配。

计算SHIFT[],HASH[],PREFIX[]; //开始匹配 while(text<textend) { hashVal=hashBlock(text);//计算当前块的哈希值 //查找块的坏字符移动表（SHIFT）得到下一个匹配开始位置 shift_distance=SHIFT[hashval]; //③ if(shift_distance==0) //当前块出现在某pat末 { shift_distance=1; //① p=HASH[hashval]; //得到可能与当前块匹配的所有pat的集合的开始位置 while(p) 检验子集中的pat是否匹配; } text+=shift_distance; //② 选择下一个可能的匹配入口 }

这里用C给出main()，源码（glimpse代码的一部分）可以从FTP下载：cs.arizona.edu



复杂度O（BN/M），B、M含义同前，N是text字符数。Patterns很短或很少的时候，Wu-Manber不是很牛叉。而成千上万的patterns一起匹配过去，Wu-Manber牛气冲天了。

3. Wu-Manber总结与改进

一言以闭之：WM是BM处理多模式的派生形式。用的BM算法框架，用块字符来计算的坏字符移动距离（SHIFT[]）；在进行匹配的时候，用的HASH[]选择patterns中的一个子集与当前文本进行匹配，减少无谓的匹配操作。WM不会随着patterns的增加而成比例增长，它远少于使用每一个pat和BM算法对文本进行匹配的时间总和。

改进1：
但是，上文提到过安全的移动距离最大是m-B+1，这是相对保守的策略。其实像图1那种情况的出现次数相对于坏字符情况的出现次数，那真是小乌见大乌了。所以，一次只滑m-B+1多慢呀，能滑m才够快够刺激。呵呵，怎么办呢？想想BM中怎么做地。我们将SHIFT作为坏字符转移表，这样算：



这样，坏字符转移函数的值域0<=y<=m，而不是原来的0<=y<=m-B+1了。下表是SHIFT表的两个版本的实现。SHIFT表空间不变，时间上多了个for循环，总时间是O(B*|∑|+M)，|∑|是块集中块的个数。

原始实现： 用m-B+1填写SHIFT表; for each pat { for pat中每一个块 计算SHIFT[Bc]; }

改进的实现： 用m填写SHIFT表; for(i=1;i<B;i++) { 对所有Bc∈[suffix(Bc,i)=prefix(pat,i)] SHIFT[Bc]=m-i; } for each pat { for pat中每一个块 计算SHIFT[Bc]; }

改进2：
WM算法一旦找准匹配入口点，就开始进行“逐个”的比较，能不能用“好后缀”呢？呵呵，可以。引入GBSShift[]，该表记录了每pat的末B位在所有patterns中的所有非后缀出现位置与相应pat_end的距离的最小值。这样就可以快速确定滑动距离。



GBSShift[]与SHIFT[]大小相同，|∑|。GBSShift[]和SHIFT[]表计算近似，不需额外计算工作，只需复制计算出的SHIFT[]表计算结果，所以它所需的额外时间是O(|∑|)。将WM伪码中的//①改为shift_distance=GBSShift[hashval]即可。
结合改进1、2，改进算法在处理大规模数据时比WM算法所用时间养活了8~15%。

盘点一下：
AC 算法被用于fgrep1.0（在UNIX中通过-f使用）
BM_AC算法在gre中应用，并被fgrep2.0收用。
BMH_AC算法
Wu-Manber算法在agrep中应用，并被glimpse收用。

学习自：“A Fast Algorithm For Multi-Pattern Searching”和“一种改进的Wu-Manber多关键词匹配算法”