关于图形数学的基本问题,沿任意轴旋转,或者旋转坐标系的推导过程

1. 图形学基本问题（15分）

在右手坐标系A内，P点的坐标是(1, 1, 1 ), M点坐标是(3, 4, 5), N点坐标是(6, 7, 8)

a) 求P点一M点为中心，绕Y轴旋转30°，再绕Z轴旋转-- 60°后的坐标点Q

b) 求P点以MN为轴，旋转—45°所获得的坐标点。

c) 假设B坐标系是有A坐标系经过如下步骤变换获得：

i. 绕X轴旋转α°

ii. 绕Z轴旋转β°

iii. 再平移

对于B坐标系内任意一点(x,y,z)，求其在A坐标系内的坐标值表达式。

1.解答如下

a) 先把坐标系平移到M点,然后绕y,z轴旋转后再平移回去,矩阵左乘向量,公式如下:

平移到M点的平移矩阵:

绕y轴旋转30度

绕z轴旋转-60度

平移坐标系到原点

复合旋转矩阵

b) 讲一下方法,同时给出公式,

上图中,MN向量已知为(3, 3, 3)如果以M点为原点,MN为Z轴建立局部坐标系,则把P点变换到局部坐标系中,然后绕MN轴旋转,最后再变换到xyz坐标系中即可.

(1) 求局部坐标系如下:

向量MN的x分量为(1,0,0),可以用MG表示,向量ML=MN*MG,向量MK = ML*MN,*表示叉乘.

ML = MN*MG= =(0, 3, -3);

MK=ML*MN= =(18, -9, -9);

以向量MK,ML,MN为坐标轴,以M点为原点建立坐标系,用矩阵M表示

M

M表示一个坐标系,同时M表示一组线性无关的基向量,把M的三个列向量单位化,得到

（2）p点在 ,E中坐标系相互转换可以用线性相关和无关的概念推导:

p=(1, 1, 1)表示向量OP在E中的坐标， 表示向量OP在 中的坐标则

Ep=P;

=P;

由于 表示正交单位向量组，因此它逆等于它的转置

则 = * P= * Ep= * p;

而p= * ;

(3)先平移坐标到M点，然后把p点变换到局部坐标系中，在局部坐标系中绕MN旋转，然后再把p点变换到原坐标系中，再把把坐标系平移到原点即得到结果

复合矩阵如下:

复合矩阵如下:

R = * * * *T

c) 用线性相关及无关的概念推导，思想如下，每一次变换都形成一个新的坐标系，新的坐标系的三个分量可以用旧的坐标系线性表出，而表出系数就是旋转矩阵，或者平移矩阵。根据题意知道，表出系数如下

如果坐标系B就用矩阵B的三个列向量表示，则B=A* * *T;

则对于B坐标系内任意一点 (x,y,z)，其向量用P表示，其在A坐标系内的坐标值p表达式推导入下:

Ap = P;

B =P;

因此Ap= B 得到p= *B= * A* * *T= * *T* 。

2. 图像处理基本问题（15分）

写一程序实现图像的简单缩放，假设RGB24格式的图像A的宽度是Wa,高度是Ha, 保存在char* 类型的Buffer内，写一个函数将其缩放为宽度是Wb,高度是Hb的图像。自行设计接口和代码实现。

2.解答如下

答:数字图像的变换分两步，第一步，空间变换，规定了图像像素的移动方式，与像素的存储方法有关，第二步，插值方法。决定了图像变换的精度。常用的有近邻取样法，双线性内插法，三次卷积法。为了简单其见，本文采用近邻取样法。

如果从源像素推导目标像素，则可能会出现一个像素对应多个像素，或者多个像素对应一个像素的问题，因此必需采用反向变换的办法，即从目标像素循环推导源像素。

所谓近邻取样法指的是，从目标像素推导源像素的时候，直接把推导的浮点数取整即可得到。

矩形Wb,Hb,缩放成Wa,Ha的缩放矩阵是

S = 其中 =Wa/Wb, =Ha/Hb;

颜色用连续一维数组存取，用一个工具类即可实现,如下c++语言实现

具体如下

//为了简单,要类采取取整的插值方法,所以图像的效果不够精确,如果要

//更加精确,可以采用双线性插值或者其它的方法,针对24位位图所以不考虑颜色表项

class CDibBitmap : public CObject

{

public:

CDibBitmap();

virtual ~CDibBitmap();

public:

void BitScale(float x, float y, int cy, CDC*pDC);//x ,y为缩放系数

};

CDibBitmap::CDibBitmap()

{

}

CDibBitmap::~CDibBitmap()

{

}

void CDibBitmap::BitScale(int Wa, int Ha, char *buffer, int Wb, int Hb, char *bufferDest)//

{

for (int i = 0; i < hb; i++)

{

for (int j = 0; j < wb; j++)

{

int wa = floor(Wa/Wb * j );

int hb = floor(Ha/Hb * i);//直接取整,用近邻法插值计算

*bufferDest++ = * (buffer + 3 *wa + hb) ;

*bufferDest++ = * (buffer + 3 *wa + hb + 1)

*bufferDest ++= * (buffer + 3 *wa + hb + 2)

}

}

}

3. 图像处理编程题

a) 用c++定一个Image类，包含一个图像基本必备的基本属性

b) 编写LoadImage的函数，读取一个BMP图像，要求根据BMP头定义通过分析文件头的方式自行获取正确的图像信息，不可使用现成的BMP读取函数。

c) 在界面内正确显示图像（Win32或者MFC均可）

d) 实现图像缩放算法，并显示缩放后的图像

3.解答如下

答：a)简单起见，只考虑24位位图，没有颜色表项。

b) 见源代码。

c) 直接用函数把图像从buffer读入并用函数在屏幕上扫描出来即可。主要考虑扫描行对齐。

d) 此处为了简单起见，只考虑取整，并不用复杂的插值算法。具体见代码。

读入bmp文件用视类里面的CCReadBitView::OnRead(),函数，文件名为da.bmp,同时缩