约瑟夫环

是一个数学的应用问题：

　　已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

链表方法

　这个就是约瑟夫环问题的实际场景，有一种是要通过输入n,m,k三个正整数，来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构，就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head

　　解决问题的核心步骤：

　　1.建立一个具有n个链结点，无头结点的循环链表

　　2.确定第1个报数人的位置

　　3.不断地从链表中删除链结点，直到链表为空

　　void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数，k为第一个开始报数的人，m为出列者喊到的数

　　{

　　/* p为当前结点 r为辅助结点，指向p的前驱结点 list为头节点*/

　　LinkList p,r,list;

　　/*建立循环链表*/

　　for(int i=0,i<n,i++)

　　{

　　p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));

　　p->data=i;

　　if(list==NULL)

　　list=p;

　　else

　　r->link=p;

　　r=p;

　　}

　　p>link=list; /*使链表循环起来*/

　　p=list; /*使p指向头节点*/

　　/*把当前指针移动到第一个报数的人*/

　　for(i=0;i<k;i++)

　　{

　　r=p；

　　p=p->link;

　　}

　　/*循环地删除队列结点*/

　　while(p->link!=p)

　　{

　　for(i=0;i<m-1;i++)

　　{

　　r=p;

　　p=p->link;

　　}

　　r->link=p->link;

　　printf("被删除的元素：%4d ",p->data);

　　free(p);

　　p=r->link;

　　}

　　printf("/n最后被删除的元素是：％4d",P->data);

　　}

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法

　无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个

　　游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n

　　，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间

　　内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，

　　而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，

　　实施一点数学策略。

　　为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出

　　，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

　　我们知道第一个人(编号一定是m-1%n) 出列之后，剩下的n-1个人组

　　成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

　　k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

　　k --> 0

　　k+1 --> 1

　　k+2 --> 2

　　...

　　...

　　k-3 --> n-3

　　k-2 --> n-2

　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这

　　个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x

　　变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相

　　信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n

　　如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就

　　行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是

　　一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然

　　是f

　　递推公式

　　f[1]=0;

　　f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结

　　果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

　　由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

　　#include <stdio.h>

　　int main(void)

　　{

　　int n, m, i, s=0;

　　printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);

　　for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;

　　printf ("The winner is %d/n", s+1);

　　}

　　这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高

　　。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用

　　数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执

　　行效率。

　　解决Josephus(约瑟夫)问题的pascal代码

　　program Josephus(input,output);

　　type pointer=^nodetype;

　　nodetype=record

　　data:integer;

　　link:pointer

　　end;

　　var head,next,last:pointer;

　　i,n,s,j,m,k:integer;

　　begin

　　writeln('请输入组成约瑟夫环的人数：');

　　read(n);

　　new(head);

　　head^.data :=1;

　　last:=head;

　　for i:=2 to n do

　　begin

　　new(next);

　　next^.data :=i;

　　last^.link :=next;

　　last:=next

　　end;

　　last^.link :=head;

　　next:=head;

　　repeat

　　begin

　　writeln(next^.data );

　　next:=next^.link

　　end;

　　until next=head;

　　readln;

　　next:=head;

　　writeln('请输入第一个报数人的位置:');

　　read(s);

　　j:=1;

　　if s<=n

　　then

　　while j<s do

　　begin

　　next:=next^.link ;

　　j:=j+1

　　end

　　else writeln('你的输入有误');

　　writeln('请输入出列人的位置:');

　　read(m);

　　while next^.link <>next do

　　begin

　　k:=1;

　　while k<m do

　　begin

　　last:=next;

　　next:=next^.link ;

　　k:=k+1

　　end;

　　writeln(next^.data );

　　last^.link :=next.link ;

　　next:=next^.link

　　end;

　　writeln(next^.data );

　　readln;

　　readln

　　end.