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C/C++面试之算法系列--N!的尾部连续0的个数

2008-10-17 00:52 513 查看

N!的尾部连续0的个数

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http://blog.csdn.net/sailor_8318/archive/2008/10/17/3088162.aspx

Baidu和EMC的笔势题:对任意输入的正整数N,编写C程序求N!的尾部连续0的个数,并指出计算复杂度。如:18!=6402373705728000,尾部连续0的个数是3。(不用考虑数值超出计算机整数界限的问题)

思路分析:
本题要用数学的方法来解决效率最高,连续K个0,则说明是10^K的倍数,即(2×5)^ K= 2^K× 5^K;待求的数为N*(N-1)(N-2)………1,由于每两个数至少可以分解出1个2,2肯定比5多,因此K的个数取决于上式的分解因子中有几个5的问题;能拆解出5的只可能是5的倍数,而能拆解出多少个5则看这个数是5的几次方的倍数了

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方法一[/b]:[/b][/b]
[/b]
int ZerosForN_1(int n)
{
int fives,result=0,i;

for(fives=5; n >=fives; fives+=5) // 循环次数为n/5
{
for(i=fives; i%5==0; i/=5) // 此处的最大循环次数为 LOG5(N)
{
++result;
}
}
//printf("%d/n",result);
return result;
}
for循环的算法复杂度最容易看出来,就是for循环的次数,最大循环次数为n/5 * LOG5(N) ,因此复杂度是O(nlogn)的
思路最清晰,即对于每个5的倍数的值,求其可被5整除的次数,即可求出最后5的因子个数和

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方法二[/b]:[/b][/b]

int ZerosForN_2(int n)
{
int pow5,result=0;

for(pow5=5; n >=pow5; pow5*=5) // 此处的循环次数为LOG5(N)
{
result+=n / pow5;
}
//printf("%d/n",result);
return result;
}

N不变,pow5以5的幂递增,此算法的思想是求出N以内所有被5整除的数的个数,所有被25整除的个数(在5的基础上多出了一个5因子),所有被125整除的个数(在25的基础上多出了一个5因子)。。。。

设最大数为N,
设5^(n+1) > N >= 5^n
[N/5] + [N/(5^2)] + [N/(5^3)] + ... + [N/(5^n)] 即为连续0的个数
上述式子的项数为log5(N),即为循环的次数,故复杂度为log5(N)

////////////////////////////////////////////////////
方法三[/b]:[/b][/b]

[N/5] + [N/(5^2)] + [N/(5^3)] + ... + [N/(5^n)]
=[N/5] + [[N/5]/5] + [ [[N/5]/5]/5] + ... + [。。。]
=A1+ [A1/5] + [A2/5] + ... + [An-1/5]
即上述各项构成等比数列,An=An-1/5,等比为1/5
即对A1反复除5,只要其大于0,即相加,便得到以下算法:

int ZerosForN_3(int n)
{
int result=0;

n/=5; // A1

while(n >0)
{
result += n; //求和
n/=5; // 求An
}
//printf("%d/n",result);
return result;
}
等比数列的项数为log5(N),即为循环的次数,故复杂度为log5(N)
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